信号与线性系统课件

教材内容纲要绪论第一章连续时域第二章离散时域第七章信号分解第三章付氏变换第四章拉普拉斯变换第五章系统函数第六章状态变量第十一章付氏变换Z变换第八~九章基本概念引导核心内容应用和拓宽加深部分Compendiumoftextbook教材内容纲要第二章连续时间系统的时域分析⑴会建立描述系统激励e(t)与响应r(t)关系的微分方程，深刻理解转移算子H(p)的意义与应用。⑵深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的(自然频率)的意义，并会求解。⑶深刻理解系统的全响应,r(t)可分解为：零输入响应rzi(t)与零状态响应rzs(t)；自由响应与强迫响应；瞬态响应与稳态响应。⑷会根据微分方程的特征根与已知的系统的初始条件，求解系统的零输入响应rzi(t)。⑸深刻理解单位冲激响应h(t)的意义，并会求解。⑹深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。⑺会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。基本要求：§2.1引言§2.2系统方程的算子表示法§2.3系统的零输入响应§2.4奇异函数§2.5信号的脉冲分解§2.6阶跃响应和冲激响应§2.7叠加积分§2.8卷积及其性质§2.9线性系统响应时域求解第二章连续时间系统的时域分析系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。连续时间系统的时域分析法：在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间t的一种分析方法。连续时间系统的变换域分析法：为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。§2.1引言连续时间系统的分析方法:时域分析法;变换域分析法所谓系统的模型是指对系统物理特性的抽象，用数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系统特性。数学模型---以数学表达式表征系统特性。)()(1)()(tediCtRidttdiLt举例1：RLC串联电路dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(22一、建立数学模型:线性系统输入—输出方程/状态方程数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。对电系统而言，《电路分析》课程中已经提供了相应的理论和方法，主要有KCL和KVL方程)(teR()itCL或选取变量：电流i(t)列方程•举例2：双耦合电路对图示电路列写电流和电压的微分方程。)(te0()utR)(1tiRLM)(2tiCCL1211()()1()()()tditditidLRitMetCdtdt解：选取变量：电流i1(t)、i2(t)列方程由两类约束关系，分别列两回路方程得：回路1的KVL方程：电阻R的伏安关系：整理后得：2122()()1()()0tditditidLRitMcdtdt02()utRit（）)t(iCdt)t(diCRdt)t(id)CLR(dt)t(idRLdt)t(idML1212122313414221222）（2233441dt)t(edCdt)t(edRdt)t(edL回路2的KVL方程：43232222222243223()()()()221()2()()ditditditditLRdetLMRLRitMdtdtCdtCdtCdt（）43232220000043223221()2()dudududuLRdetLMRLRuRMdtdtCdtCdtCdt（）)(te0()utR)(1tiRLM)(2tiCCL举例3.对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。)(ti)(te2CLR)(tr解：由图列方程)..().........t(iR)t(rdt)t(drC22KCL:)..().........t(e)t(rdt)t(diL1KVL:)t(e)t(rdt)t(drRLdt)t(rdLC222将（2）式两边微分，得).(..........dt)t(didt)t(drRdt)t(rdC31222将（3）代入（1）得*由以上例题可以得出如下结论：1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。例2：含有4个储能元件，故为四阶电路。例3：含有2个储能元件，故为二阶电路。2.无论是电流i(t)或电压u(t),他们的齐次方程相同。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。推广到一般：对于一线性系统其激励和响应函数或输入函数与输出函数之间的关系，总可用下列的微分方程——输入—输出方程描述：ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111—n阶常系数线性微分方程1)()(00)()(nnimjjjiiatebtra全响应=齐次方程通解+非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法）卷积，杜阿美尔积分时域分析法变换域法（傅氏变换拉普拉斯变换法）微分方程求解二、常系数n阶线性常微分方程的求解方法（经典法）古典解法解题过程：齐次方程的通解：为n个指数项之和，其包含的n个待定常数，要用n个初始条件确定。——该部分解为系统的自然响应或自由响应。非齐次方程的特解：可根据系统激励函数的具体形式求取。——该部分解为系统的受迫响应。根据不同观点,全响应可分解为：自由响应分量和强迫响应分量；零输入响应和零状态响应分量；暂态响应分量和稳态响应分量。1.时域分析法1)古典解法（直接解法）系统建立微分方程求非齐次方程特解求齐次方程通解全响应2)叠加积分法（卷积积分、杜阿美尔积分）2.变换域法系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等.如：傅氏变换、拉氏变化等将求系统的微分方程转换求代数方程系统的零输入响应：当系统外加激励信号为零时由初始状态单独作用产生的响应。系统的零状态响应：当系统初始状态为零时由外加激励信号单独作用产生的响应。求解方法：激励e(t)为零，只需求解齐次方程的解，并利用初始条件确定解中的待定系数。求解方法：需求含有激励函数而初始条件为零的非齐次方程的解。方法1时域分析法:A直接解方程法B叠加积分法(卷积积分、杜阿美尔积分)方法2变换域法零输入响应和零状态响应的求解1.微分、积分算子定义在n阶常系数线性常微分方程式中的和为时域中的微分运算符号,为方便起见,把微分运算符号用p表示，即令：把积分算子符号用1/p表示，即令：n阶常系数线性常微分方程式的简化形式如下：dtdpdt1ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111nndtdpdtdnnndpdt=ebpbpbpbrapapapmmmmnnn)()(01110111§2.2系统方程的算子表示法一、微分、积分算子定义规则1以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行相乘和因式分解。mp+np=(m+n)ppmpn=p(m+n),其中m,n为任意整数例如:)()2)(2()()4()()65()()3)(2(22trpptrptepptepp规则2设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，)()()()()()(trpApBtrpBpA二、微分、积分算子的运算规则规则3微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如方程)(1)(1tprptrpp规则4对函数进行先除后乘算子p的运算时，公式的分子与分母中共有p算子允许消去。而对函数进行先乘后除运算时,则不能相消.也就是说,对函数乘除算子p的顺序不能随意颠倒可见:大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用()()rtetc)()(tpetpr对于n阶连续系统,其输入-输出方程是n阶线性常系数微分方程若设系统输入为e(t)，输出为r(t)，则可表示为：ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111利用微分算子将上式表示成：ebpbpbpbrapapapmmmmnnn)()(01110111或简记为：)()()()(tepNtrpD又可进一步写成：)()()()(tepDpNtr转移算子H(p)01110111)()()(apapapbpbpbpbpDpNpHnnnmmmm—它代表了系统对输入的传输作用,故称为响应对激励的传输算子,或系统的传输算子三、转移算子)()()()()()(pDpNpHtepHtr求系统的零输入响应：激励e(t)为零，求解齐次方程的解，并利用初始条件确定解中的待定系数。0)()(trpD求系统的零状态响应：系统的初始状态为零，求解的非齐次方程。)()()(tepHtr四、系统算子方程的一般表达式例电路如图(a)所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。解画出算子模型电路如图(b)所示。由节点电压法列出u1(t)的方程为)()(2212121tftupp)()1(2)()22(12tfptupp所以u1(t)对f(t)的传输算子为22)1(2)(2ppppH它代表的实际含义是)(2)('2)(2)(2)(1'11tftftututu电容：C1/Cp电感：LLp例如图(a)所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。i1(t)i2(t)1Fi1(t)i2(t)i1(t)i2(t)2ppp1＋－f(t)＋－f(t)(a)(b)111H2H11电容：C1/Cp电感：LLp解画出算子模型电路如图(b)所示。列出网孔电流方程如下：0)(112)(1)()(1)(112121tipptiptftiptipp0)(1)12()(1)()(1)(1)1(221212tippptiptftiptippp整理：该方程组对新设变量而言是一个微分方程组，可以用代数方法求解，得)()()2432(223tftippp系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。求系统的零输入响应：激励e(t)为零，求解齐次方程的解，并利用初始条件确定解中的待定系数。0)()(trpD1110()nnnDppapapa--称为系统的特征方程，方程解λ为特征方程的特征根§2.3系统的零输入响应一、零输入响应的概念二、特征方程()()()NpHpDp转移算子：转移算子分母D(p)：特征多项式0)(0111apapappDnnn简单系统1：1阶齐次方程，特征方程只有一个特征根p=λ。0)(rp0rdtdrtcetr)(积分常数C可根据t=0时由未加激励前的初始储能决定的初始值r(t)=r(0)来确定。上式为tertr)0()(一般情况下：初始条件为t=t0时，r(t)=r(t0)此时r(t)=r(t0)eλ(t-t0)1.简单系统将上述结论推广到一般情况，n阶齐次方程，若其特征方程有n个单根。则其解的一般形式为：tnttnececectr2121)(式中：各λ为响应中的自然频率，也是H(p)的极点；c1、c2…cn是n个应由系统初始条件确定的系数。nnnnnnnnncccrcccrcccr12121111221121)0()0()0(三、简单系统的零输入响应0)(2rp简单系统2：系统特征方程在p=λ处，具有一个二阶重根。其解的通解tetcctr)()(10积分常数c0、c1可根据t=0时由