最优估计与滤波

最优估计与滤波教材-----无参考书-----1、最优估计及其应用贾沛璋、朱征桃编著科学出版社1984年2、现代控制理论基础谢绪恺编著辽宁人民出版社1980年3、随机信号处理与控制基础罗传翼编著化工出版社2002年4、随机信号估计与系统控制徐寿宁编著北京工业大学出版社2001年第一章绪论二、本课程的基本要求一、本课程的任务和意义1、首先解决系统控制的数学模型问题(参数估计)2、解决随机系统最优控制中的状态估计问题总学时36学时，实验10学时。1、要求能够实时采集一个系统的输入输出数据，并能够利用离线和在线的算法估计系统参数。2、利用MATLAB软件进行卡尔曼滤波的仿真实验。一、系统控制的数学模型问题系统辨识法机理推导法优点：参数具有物理意义缺点：数学模型复杂(高阶)，在对系统机理了解不多的情况下,不适用优点：数学模型简单实用，不需要对系统机理了解缺点：参数不具有物理意义被测系统估计器等价系统uyye_计算机系统辨识原理数据采集数据采集yu二、随机系统最优控制中的状态估计问题1、状态可测、无随机干扰2、状态不可测、无随机干扰确定性系统的最优控制随机系统的最优控制状态不可测,有随机干扰BA∫C–R-1BTPrBuKKXuXXyCX1、状态可测2、无随机干扰状态反馈XAXBu1、确定性系统的最优控制(状态可测，无随机干扰）--------有限时间的二次型最优控制已知状态方程01[]2ftTTtJdtXQXuRuu求解：性能指标边界条件00()tXx()ftX固定，自由约束条件无约束**?()?uuxminJ时，用最小值原理1[][]2TTTHXQXuRuλAXBu1、作哈密顿函数2、建立极值条件1u0TTTRuλB=Ru+BλRu=-Bλ0Hu由于开集所以即移项得*-1Tu=-RBλ1R左乘得3、建立正则方程-1TX=AX+Bu=AX-BRBλTTHλ=-=-QX-λA=-QX-AλX﹛状态方程伴随方程R、B都是已知矩阵，故只要求得λ，就可求出u*，为求λ必须解正则方程（1）（2）()()()tttλPXλ=PX为了利用线性状态反馈的办法达到最优控制的目的，通常希望将λ表达为X的线性函数即简记为λ=PX+PXT-1TPX+PX=-QX-APXX=AX-BRBPX-1TT-1TTPX+P(AX-BRBPX)=-QX-APX[P+PA-PBRBP+Q+AP]X=0对（4）求导得代入正则方程得﹛-1TTP+PA-PBRBP+Q+AP=0（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）将（4）（5）将(7)→(6)即也即(10)式就是著名的里卡提矩阵微分方程，解这个矩阵微分方程就可解出P.解里卡提矩阵微分方程必须要有边界条件,这个边界条件可由()0ftλ推出,由(3)式可知()()()ffftttλPX()0ftX()0ftP由于必有解出P→解出λ→解出u*,最后得*-1T-1T-1T*u=-RBλ=-RBPXK=-RBPu=KX4、解里卡提方程BA∫C–R-1BTPrBuKuXXyCX状态观测器1、状态不可测2、无随机干扰K-----状态估计值ˆXˆXˆX2、确定性系统的最优控制(状态不可测，无随机干扰）--------有限时间的二次型最优控制BA∫C–R-1BTPrBuKKuXXyCX卡尔曼滤波器（状态估计器）1、状态不可测2、有随机干扰随机干扰3、随机系统的最优控制（状态不可测，有随机干扰）ˆXˆX随机干扰补充随机过程简介§X-1随机过程例1阶跃响应曲线族（连续型）阶跃响应曲线的测试例2射击运动员训练成绩分布图（离散型）k1()yk···············k()nyk···············§X-2随机过程的统计描述由于随机过程在每一个时刻都是随机变量，所以，对于随机变量的所有描述方法也适用于随机过程。一、分布函数和概率密度函数族给定一个随机过程{X(t)，t∈T}，对于每一固定时刻t∈T，都是一个随机变量，都存在一维分布函数；对于每n个固定时刻t1,t2,…，tn∈T，都是n个随机变量，都存在n维联合分布函数，即如果上述分布函数是连续可微的，则可以定义随机过程{X(t)，t∈T}的一维概率密度函数和n维联合概率密度函数，即由于上述时间t∈T和t1，t2，…，tn是任意的，故与一般的随机变量不同的是，上述函数既是随机变量取值(实值函数)的函数，也是时间的函数。对于任意有限个时刻t1，t2，…，tn∈T，上述分布函数和概率密度函数的集合(n=l，2，…)分别称为有限维概率分布函数族和有限维概率密度函数族，简称为有限维分布和有限维密度函数。它们全面地描述了随机过程。二、数学期望函数和方差函数从理论上来说，只有当n维分布函数族(或概率密度函数族)对所有的n(n=l，2，3,…)都已知，随机过程才完全被确定。但与随机变量相类似，对于实际生活中的随机过程，除了较特殊的情况外，往往较难求n(n=1，2，3，…)维分布函数族或概率密度函数族。人们往往更多地使用数学期望、方差等数字特征来描述随机过程。它们尽管不能像有限维分布那样全面描述随机过程，但也能分别描述随机过程各方而的重要特征，而且比较容易求出。随机过程{X(t)，t∈T}在每一时刻都是随机变量，该随机变量的数学期望μX(t)=E[X(t)],t∈T是时间的函数，定义为该随机过程的数学期望函数(均值函数)，简称为期望函数，它表示随机过程{X(t)，t∈T}的所有样本的某种概率平均.1(){()}(,)XtEXtxpxtdx2221(){()}(,)XtEXtxpxtdx2221(){[()()]}[()](,)XxxtEXttxtpxtdx1(,)pxt与一维概率密度有关的数字特征均值函数均方值函数方差函数1212122121212(,){()()}(,;,)XRttEXtXtxxpxxttdxdx12112211222121212(,){[()()][()()]}[()][()](,;,)XxxxxCttEXttXttxtxtpxxttdxdx21212(,;,)pxxtt与二维概率密度有关的数字特征自相关函数协方差函数随机过程的数学期望函数随机过程{X(t)，t∈T}每一时刻的方差即定义为该随机过程的方差函数,它表示随机过程{X(t)，t∈T}对于数学期望函数μX(t)的偏离程度。2221(){[()()]}[()](,)XXXtEXttxtpxtdx同样，可定义随机过程的其他几个数字特征，如均方值函数（均值函数为零时的方差函数）不同随机过程的方差函数2221(){()}(,)XtEXtxpxtdx三、协方差函数随机过程{X（t），T∈T}在某两个固定时刻t1和t2的状态之间的关系可用这两个时刻状态的协方差来描述，即这里的t1和t2的函数CX(t1，t2)，tl，t2∈T称为随机过程{X（t），T∈T}的协方差函数。例图(a)中，对于大部分样本，都有12121122(,)[(,)]{[()()][()()]}XXXCttCovXttEXttXtt1122()()()()XXXttXtt在图(b)中则不存在上述关系，故由式(1-1)，对于图中相同的时间间隔，t1~t2，有通常，称图(a)的过程X(t)相关性强，意思是不同时刻的状态之间联系强；而称图(b)的过程y(t)相关性弱，意思是不同时刻的状态之间联系弱。相关性的强弱也可以理解为随机样本的变化是缓慢还是激烈。同理，通常t1和t2越接近，则协方差函数的值越大，t1和f2时刻状态的联系越密切；反之，当t1和t2远离时，通常协方差函数趋于零或很小。例:随机过程的任意两个状态x(t1)与x(t2)相互独立，试求协方差函数。解两个独立随机变量的联合概率密度函数等于各自的概率密度函数之积，即故协方差函数为1212(,)(,)XYCttCtt1212[(),()][()][()]pxtxtpxtpxt12112211222121212(,){[()()][()()]}[()][()](,;,)xxxxxCttExttxttxtxtpxxttdxdx11221212[()()][()()][()][()]()()xxxttxttpxtpxtdxtdxt11112222[()()][()]()[()()][()]()xxxttpxtdxtxttpxtdxt111111222222{()[()]()()[()]()}{()[()]()()[()]()}xxxtpxtdxttpxtdxtxtpxtdxttpxtdxt1122{()()}{()()}0xxxxtttt依概率收敛于1四、相关函数综上所述，协方差函数CX(t1,t2)表示了随机过程{X(t)，t∈T}两状态间的统计依赖程度。特别地，当t1=t2=t，则式(1．1)为即同一时刻的协方差函数就是方差函数.协方差函数CX(t1,t2)可写为上式中的定义为随机过程{X(t)，t∈T}的相关函数22(,){[()()]}()XxXCttEXttt12112212121212(,){[()()][()()]}[()()][()()][()()][()()]XXXXXXXCttEXttXttEXtXtEttEXttEtXt1212[()()]()()XXEXtXttt1212[()()](,)XEXtXtRtt五、二阶矩过程与相关理论上述数字特征中最重要的是数学期望函数μX(t)和相关函数RX(t)(或协方差函数)，其他的数字特征都可以由它们算出。随机过程的数学期望函数称为过程的一阶矩，方差函数、协方差函数和相关函数称为过程的二阶矩。如果随机过程{X(t)，t∈T}的一、二阶矩存在(即其值有限)，则称该随机过程为二阶矩过程。从二阶矩过程的数学期望函数和相关函数出发讨论过程的性质，而允许不涉及它的n(n=l，2，…)个时刻的n维分布，这种理论称为随机过程的相关理论六、互协方差函数和互相关函数设X(t)和Y(t)，t是定义在同一样本空间S和同一参数集T上的随机过程，则称{X(t)，Y(t)，t∈T}为二维随机过程。对于二维随机过程{X(t)，Y(t)，t∈T}除了X(t)和Y(t)各自的数字特征外，最重要的表示X(t)和Y(t)之间统计依存关系的数字特征是X(t)和Y(t)的互相关函数即和X（t）和Y（t）的互协方差函数即上式可变形为即互协方差函数与互相关函数之差是一个与t1，t2有关的数，如果X（t）和Y（t）之一为零均值，则二者相等。互相关函数和互协方差函数表示了随机过程X（t）在t1时刻的状态和Y（t）在t2时刻的状态之间的统计依存关系。如果对任意时刻t1，t2，…，tm。和t’1,t’2,…,t’n,(m，n为任意正整数)，由随机过程X（t）和Y（t）的状态所构成的随机变量的概率密度函数满足则称X（t）和Y（t）是相互独立的随机过程.§X-3正态随机过程二阶矩过程中，最重要也是最简单的就是正态随机过程。一、正态随机向量为了讨论正态随机过程，首先需要复习概率论中学过的正态随机向量。例：在概率论中曾讨论过二维正态随机向量后一个式子表示其样本。设Xl和X2的期望分别为μ1和μ2，方差分别为和，X1和X2的相关系数ρ为2122则其概率密度函数为(1-9)为了使形式更简单，设法用矩阵形式来表示上式。X的协方差矩阵为一般地，如果n维随机向量X=（x1x2…xn)T的概率密度函数为且Cov(X)正定，则称X为n维正态随机向量，记作X~N[μx，Cov(X)]要注意的是，尽管这里有n个随机标量，但却只涉及一、二阶矩。正态随机向量的概率