南昌大学第七届高等数学竞赛(文科类)试题及答案

第1页共10页南昌大学第七届高等数学竞赛(文科类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2010年10月10日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156687677788100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.得分评阅人一、单项选择题(每题3分，共15分)1、设对任意的x，总有()()()gxfxhx，且lim[()()]0xhxgx，则lim()xfx=（）(A)存在等于零.(B)存在但不一定等于零.(C)一定不存在.(D)不一定存在.2、设函数()fx和()gx在开区间(,)ab内可导，有以下两论断：（1）若()()fxgx则()()fxgx；（2）若()()fxgx则()()fxgx.则（）(A)两个论断都不正确.(B)两个论断都正确.(C)论断（1）正确，论断（2）不正确.(D)论断（1）不正确，论断（2）正确.3、当0x时，sinxx是2x的（）(A)低阶无穷小.(B)高阶无穷小.(C)等价无穷小.(D)同阶无穷小但非等价无穷小.4、设2sin()sinxtxfxetdt，则()fx（）(A)为正常数.(B)为负常数.(C)恒为零.(D)不为常数.5、若()fx的导函数是sinx，则下列为()fx的原函数的有（）(A)cosCxx.(B)cosCxx.(C)sinCxx.(D)sinCxx.第2页共10页二、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、22911limcosxxxxxx＝.2、设ln(1)yxx，则y0|x=.3、120111(1)()xxxxeedx=.4、设()1xxfee，则()fx=.5、,ab为常数，()fx可导，则0()()limxfxaxfxbxx=.三、（本题满分6分）求011lim1xxxex.得分评阅人第3页共10页四、（本题满分6分）设20()()xfxttdt，求()fx在0，上的最大值.`五、（本题满分8分）求常数,ab，使110()011arctan11axxxfxaxbxxx，，，在所定义区间上连续.得分评阅人得分评阅人第4页共10页六、（本题满分7分）已知2ln(1)arctanxtyt，，求22dydydxdx，.七、（本题满分6分）求不定积分321xdxx.得分评阅人得分评阅人第5页共10页八、（本题满分7分）设函数sin20()()xgxftxdt，其中f是连续函数，且(0)2f.（1）求()gx.（2）讨论()gx的连续性..九、（本题满分7分）求定积分401cos2xdxx.得分评阅人得分评阅人第6页共10页十、（本题满分7分）求由方程1xyyxe所确定的曲线xyy在点01，处的切线和法线方程.十一、（本题满分8分）设对任意的实数x，有(1)()fxafx，当01x时，2()(1)fxxx，试确定常数a的值，使()fx在0x处可导，并求此导数.得分评阅人得分评阅人第7页共10页十二、（本题满分8分）设()fx在[01]，上可微，且满足110(1)()(1)xkfkxefxdxk，证明：至少存在一点(01)，，使得1()(1)()ff.得分评阅人第8页共10页南昌大学第七届高等数学竞赛(文科类)试题答案一、选择题1、D2、A3、B4、A5、C二、填空题1、4；2、52；3、4e；4、22xxC；5、ab.三、原式=201lim(1)xxxxxexe=2201limxxxxex=012lim2xxxex=023lim22xxe四、2()fxxx，令2()0fxxx，得0,1xx，在(0,)内有唯一的驻点1x，又()12fxx，所以(1)10f，因此()fx在1x处有唯一的极大值，即最大值，而(0)0f，所以()fx在0，上的最大值为120(1)()fttdt1230111236tt五、当0,1xx时()fx处处连续，00011lim()limlim2(11)xxxaxaxafxxxax00lim()lim()xxfxaxbb，于是有2ab11lim()lim()xxfxaxbab，111lim()limarctan12xxfxx，于是2ab因此，,2ab，即当,2ab时()fx在定义区间上连续六、12dydxt第9页共10页222314dytdxt七、321xdxx=2221(1)21xdxx=22211(1)(1)21xdxx=3122221(1)(1)3xxC八、令2txu，则2utx，2dudtx，00tu，2sinsintxuxx，所以2sin201()()xxgxfudux，(0)0g（1）当0x时，2sin23022()()(sin)(cos)sinxxxgxfudufxxxxx当0x时，2sin0300()()(0)(0)limlimxxxxfudugxggxx2220(sin)(2sincos)lim3xfxxxxxxx=2所以2sin23022()(sin)(cos)0()sin20xxxfudufxxxxgxxxx，，（2）2sin2300022lim()lim[()(sin)(cos)]sinxxxxxgxfudufxxxxx=-2(0)3(0)(0)2fff(0)g因此()gx在0x处连续，又()gx在0x处连续，所以()gx处处连续九、401cos2xdxx=42012cosxdxx=401(tan)2xdx=44001tan|tan2xxxdx第10页共10页=401lncos|24x=1ln284十、设切线和法线的斜率分别为1k和2k，在方程两边求导得：()xyxyyexeyxy，所以0|1xy，则1k=1，2k=-1，因此所求切线方程为1yx，所求发现方程为1yx十一解：首先写出()fx在0x附近的表达式，当10x时，由(1)()fxafx可知2111()(1)(1)[1(1)](1)(2)fxfxxxxxxaaa，所以()fx=1(1)(2)10(1)(1)01xxxxaxxxx，，，显然()fx在0x处连续，且(0)0f，01(1)(2)2(0)limxxxxafxa，0(1)(1)(0)lim1xxxxfx因()fx在0x处可导，故(0)f=(0)f，即2a=1，因此2a，(0)1f十二、证由110(1)()xkfkxefxdx及积分中值定理可知，至少存在一点110,(01)k，使110(1)()xkfkxefxdx=1111()ef在1[,1]上，令1()()xxxefx，那么，()x在1[,1]上连续，在1(,1)内可导，且由罗尔定理可知，至少存在一点1(,1)(01)，，使1()[()()()]0efff，即1()(1)()ff