南昌大学第七届高等数学竞赛(理工类)试题及答案

第1页共12页南昌大学第七届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2010年10月10日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156676877878100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.得分评阅人一、填空题(每题3分，共15分)1、1lim123nnnn＝.2、32223ln19xxxxdx=.3、设3a，4b，且ab，则abab=.4、微分方程320yyy满足0lim1xyx的特解是.5、已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210xyz，则点P的坐标为.第2页共12页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设fx在xa的某邻域内有定义，则fx在xa处可导的一个充分条件是（）(A)1limfafa存在.(B)02lim2fafa存在.(C)02limfafa存在.(D)0limfafa存在.2、设在,内0fx，00f，则函数fxx（）(A)在,0内单调减少，在0,内单调增加.(B)在,0内单调减少，在0,内也单调减少.(C)在,0内单调增加，在0,内单调减少..(D)在,0内单调增加，在0,内也单调增加.3、设sin01cosxfxtdt，sintangxxx，则当0x时，（）(A)fx与gx是等价无穷小.(B)fx是比gx低阶的无穷小.(C)fx与gx是同阶但非等价的无穷小.(D)fx是比gx高阶的无穷小.4、已知24,xyfxye，则（）(A)0,0xf不存在，0,0yf存在.(B)0,0,xf0,0yf都存在.(C)0,0xf存在，0,0yf不存在.(D)0,0,xf0,0yf都不存在5、设级数11nnnax在2x处收敛，则此级数在1x处()(A)条件收敛.(B)绝对收敛.(C)发散.(D)收敛性不确定.第3页共12页三、（本题满分6分）计算1lim121nnnnnn.四、（本题满分6分）计算0sinlimxxtdtx.得分评阅人得分评阅人第4页共12页五、（本题满分7分）设二元函数,zzxy是由方程2sinxyxeyzyzxz所确定，求2,0,02xyzx.六、（本题满分6分）求满足方程00xxftdtxtfxtdt的可微函数fx.得分评阅人得分评阅人第5页共12页七、（本题满分8分）设在空气中自由落下的冰雹均匀地融化，每秒融化m千克，空气阻力和冰雹速度成正比。若冰雹的初始质量为0M千克，初速度为零，试求冰雹运动的速度和时间的关系.八、（本题满分7分）设函数211fxxx，判别级数1!0nnnf的敛散性.得分评阅人得分评阅人第6页共12页九、（本题满分7分）设fx在,ab上连续，在,ab内有二阶连续导数，求证至少存在一点,ab使得2224baabfaffbf.十、（本题满分8分）求球面22220xyzaa被平面4az与2az所夹部分的面积.得分评阅人得分评阅人第7页共12页十一、（本题满分7分）求sincosxxLIeybxydxeyaxdy，其中,ab为常数，L为从点2,0Aa沿曲线22yaxx到点0,0O的一段弧.十二、（本题满分8分）注：科技学院考生只作第1题,其他考生只作第2题。1.计算2211DxyIdxdyxy，其中区域22,1,0Dxyxyx.2.计算曲面积分323232Ixazdydzyaxdzdxzaydxdy，其中为上半球面222zaxy的上侧，0a.得分评阅人得分评阅人第8页共12页南昌大学第七届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、1、3.2、92.3、24.4、2xxyee.5、1,1,2.二、1、D.2、D.3、C.4、A.5、B.三、解令ny1121nnnnn，则1lnlnlnln1ln21nynnnnn=111ln1ln1nnnn=111ln1niinnlimlnlimnnny111ln1niinn=10ln1xdx=2ln21原式=4e四、解100sinsinsin2nntdttdttdt当x时，存在正整数n使1nxn，因此1000sinsinsinnxntdttdttdt2n0sinxtdt21n0sin2121xtdtnnnxnlimn221nn，limn212nn0sinlimxxtdtx=2第9页共12页五、解由0,0xy得0z.方程两边对x求偏导得2sincosxyxyzzzexeyyzyxzxxxx,0,0,,0,0,01xyxyzzzxx上述方程两边再对x求偏导数得2212sincosxyxyzzzeyxyeyyzyxzxxxxxx将0,0xy，0z代入得2,0,02xyzx=0六、解令uxt，则0xtfxtdt=0xxufudu=00xxxfuduufudu原方程可化为000xxxftdtxxfuduufudu两边对x求导得01xfxfudu（﹡）再对x求导得fxfx求解此微分方程得xfxce由（﹡）得01f，代入上式得1c因此xfxe七、解在t秒时刻，冰雹的质量为0Mmt，速度为vt，受阻力为kv，0k为比例系数，根据牛顿运动定律得0000dvMmtMmtgkvdtv化简得0dvkvgdtMmt解得00kmgvMmtcMmtmk，由00v得c10kmgMmk，于是1000kkmmggvMmtMMmtmkmk第10页共12页八、解25151122xxxx，令512a，512b，则0011111155nnnnxxfxaxbxaabb=1101155nnnnnxab，xa.由于1ab，因此1111011111!555nnnnnnnfbabanb11105nnbab11!05limlim511nnnnnnnfaab，由11nna收敛得1!0nnnf收敛九、证212222!2ababababfxffxfx，介于x与2ab之间2112222!2ababababfbffbfb2212222!2ababababfaffafa相加得2121228abfafbfbaff，（1）不妨设12，由fx在,ab内连续得fx在12,上连续，设fx在12,上的最大值和最小值分别为M和m，则1212ff,mM,由介值定理得至少存在一点12,,ab使得f1212ff，代入（1）得结论.十、解222zaxy，222xxzaxy，222yyzaxy2222315,:,0,024Dxyaxyaxy，由对称性得4S2222214xyDDazzdxdydxdyaxy=152243220242aaaadda第11页共12页十一、解令0:0,02LOAyxa,0sincosxxLeybxydxeyaxdy=2202abxdxab,由格林公式得20sincos2xxLDLabaeybxydxeyaxdybad,00LLLI23222aba.十二、解1、122021cossin1rrIdrdrr，由于31122220022cossincossin011rrrdrdrddrrr，因此1220211Idrdrr=ln222令2220:0,zxya，取下侧。2220333xyzdv=5222200063sin5aaddrrdr222250001sin4aDaydxdydda55561295420Iaaa第12页共12页