南昌大学第四届高等数学竞赛理工类试题

第1页共7页南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2007年9月16日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156677877787100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.一、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、30arctanlimln12xxxx＝.2、设S是平面2xyz被圆柱面221xy所截的有限部分,则曲面积分xdS=.3、设yyx由方程212xytxedtxy确定,则0y=.4、直线1158:121xyzL与直线26:23xyLyz的夹角为.5、设曲线弧L的方程为椭圆22143xy，其周长为a，则22234LIxyxyds.第2页共7页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设xf和gx在,内可导，且fxgx，则必有（）(A)fxgx.(B)fxgx.(C)00limlimxxxxfxgx.(D)00xxftdtgtdt.2、设yfx是微分方程sin24xyyye的一个解，若00,fx00fx，则函数fx在点0x()(A)取得极大值.(B)某邻域内单调增加.(C)取得极小值.(D)某邻域内单调减少.3、已知22cossinaxyyxdxxybxdy是某函数,uxy的全微分，则（）(A)2,2ab.(B)2,2ab.(C)1,1ab.(D)1,1ab.4、已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210xyz，则点P的坐标为（）(A)1,1,2.(B)1,1,2.(C)1,1,2.(D)1,1,2.5、设正项级数1ln1nna收敛,则级数111nnnnaa的敛散性为()(A)无法判断,与有关.(B)发散.(C)条件收敛.(D)绝对收敛.第3页共7页三、（本题满分6分）设f为连续函数,011axgafaxdxaa,讨论当0a时ga的极限是否存在.四、（本题满分6分）设fx为连续函数,满足方程021xxfxextftdt,求fx.得分评阅人得分评阅人第4页共7页五、（本题满分7分）求sincosxxLIeybxydxeyaxdy，其中ab、均为常数，L为从点A2,0a沿曲线22yaxx到点0,0O的一段弧.六、（本题满分7分）设xf在0,1上连续，且10fxdxA，求1101xftdtxfxdx.得分评阅人得分评阅人第5页共7页七、（本题满分8分）已知正项级数1nna收敛，试判断数列12111naaa的敛散性.八、（本题满分7分）计算曲面积分2Iydydzxdzdxzdxdy，其中是锥面22zxy被平面1z和2z所截出部分的外侧.得分评阅人得分评阅人第6页共7页九、（本题满分7分）设xyuyfxgyx，其中函数,fg具有二阶连续导数，求222uuxyxxy.十、（本题满分7分）设函数fx满足方程236xfxfxx,且由曲线yfx、直线1x与x轴围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求fx.得分评阅人得分评阅人第7页共7页十一、（本题满分8分）求级数2113nnnxn的和函数.十二、（本题满分7分）设对任意,xab，有0fx，0fx，试证2bafxdxfxba.得分评阅人得分评阅人