南昌大学第三届高等数学竞赛数学专业类03级04级试题

第1页共9页南昌大学第三届高等数学竞赛（数学专业类2003、2004级）试卷试卷编号：()卷课程名称：适用班级：姓名：学号：班级：专业：学院：系别：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分251213127724100得分考生注意事项：1、本试卷共9页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、判断题(每题5分，共25分)得分评阅人以下命题是正确的，请给以证明；不正确的，请举例说明。1、将数列nx分成无穷多个序列：1knx，2knx，…，sknx，…。它们均收敛于同一个极限，则nx必收敛。这里stkknn，1sksnN。2、设函数fx在0x可导，则fx在0x的某个邻域内连续。3、设fx在,0aa内有定义，若对任意正数0p，有lim0xfxpfx，则limxfx存在（极限有限）。4、若函数序列nfx在区间I上内闭一致收敛，则它在I上收敛。5、00sinsindxyxydxdxdyxyx。第2页共9页第3页共9页二、证明题（12分）设0nx，nN且12lim0nnnnxxx，则nx无界。得分评阅人第4页共9页三、证明题（13分）设11sinfxxx，0,x，则（i）fx在,a0a一致连续；（ii）fx在0,a0a不一致连续。得分评阅人第5页共9页四、证明题（12分）设函数fx在0,1上有二阶导数，010ff，0,1max2xfx，则存在0,1，使得16f。得分评阅人第6页共9页五、证明题（7分）设fx，gx分别在区间01,xx，01,yy上连续，定义000101,,,,,xyxyFxyfsdsgtdtxyxxyy。按定义证明,Fxy在矩形域0101,,Dxxyy内可微。得分评阅人第7页共9页六、证明题（7分）计算22Cxdyydxxy，其中C是以,1，,1，1,1，1,10为顶点的矩形边界，积分沿C的正向计算。得分评阅人第8页共9页七、证明题（24分）给函数项级数1nxnSxne。（i）求此级数的收敛域；（ii）证明此级数在,0上一致收敛；（iii）证明此级数在0,0不一致收敛；（iv）证明此级数在0,内处处连续；（v）求ln3ln2Sxdx。（vi）在0,内，2nxSxne。得分评阅人第9页共9页