11届高数竞赛理工类(一本)试题答案

第1页共6页南昌大学第十一届高等数学竞赛理工类(一本)试题答案序号：姓名：学号:学院：班级：第考场考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分15157898109910100得分注:本卷共六页,十道大题,考试时间为8:30——11:30.得分评阅人一、填空题(每题3分，共15分)1、设函数xxxxfsin113，欲使xf在,1内连续，必须定义0f61.2、设函数xf在点0x处可导，且111coslim0xfxex，则0f0.3、曲面22zxy与平面240xyz平行的切平面的方程是245xyz.4、设uf是连续的奇函数，D是由直线1x，1y及曲线3xy围成的平面区域，则dxyfxD3=72.5、设曲线L是椭圆1422yx，其周长为a，则曲线积分dsyxyxL22242=4a.第2页共6页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、以下四个命题中，正确的是（C）.（A）若()fx在（0，1）内连续，则()fx在（0，1）内有界（B）若()fx在（0，1）内连续，则()fx在（0，1）内有界（C）若()fx在（0，1）内有界，则()fx在（0，1）内有界（D）若()fx在（0，1）内有界，则()fx在（0，1）内有界2、设410tanxIdxx，420tanxIdxx，则(B).（A）．121II（B）．121II（C）．211II（D）．211II3、方程23xyyyxe的特解的形式为（D）.(A)xAxe(B)()xAxBe(C)()xAxBxe(D)2()xAxBxe4、二元函数(,)fxy在点（0，0）处可微的一个充分条件是（C）.（A）(,)(0,0)lim(,)(0,0)0xyfxyf（B）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0lim0xyfxfyfxy且（C）22(,)(0,0)(,)(0,0)lim0xyfxyfxy（D）00lim(,0)(0,0)0lim(0,)(0,0)0xxyyxyfxffyf且5、设积分区域222:RyxD,其中0y，则（A）.(A)12DDydxdyxdxdy(B)12DDxdxdyxdxdy(C)12DDxdxdyydxdy(D)12DDxydxdyxydxdy其中1D是积分区域D在0x的部分区域.第3页共6页三、（本题满分7分）求极限ennnn11lim.ennnn11lim=nennn111lim.由于xeexexxxxxx1lim1lim11ln10102001lnlim11ln1limxxxexxxexx=2e,因此ennnn11lim=2e.四、（本题满分8分）设函数2022sinxdttxtxF，求30limxxFx.令22txu，则duuxFxxx422sin21=duuxxx242sin21，30limxxFx=0sin21limsin21lim34030242xxxduuxxxxx.得分评阅人得分评阅人第4页共6页五、（本题满分9分）已知曲线,53,02:222zyxzyx求上距离xoy平面最远和最近的点.令2222(,,,,)(2)(35),Lxyzzxyzxyz'''22220,20,2430,20,35,xyzLxLyLzzxyzxyz解得5,15,15,1xxyyzz或根据几何意义，曲线上存在距离xoy面最远的点最近的点，故所求点分别为(5,5,5)(1,1,1).和六、（本题满分8分）设xf，xg在1,0上有连续导数，且00f，0xf，0xg.证明：对任意1,0a有1100gafdxxgxfdxxfxga.令1100gxfdttgtfdttftgxFx，则01gxgxfxF.于是，对任意1,0a有1FaF111010gfdttgtfdttftg=0.即1100gafdxxgxfdxxfxga.得分评阅人得分评阅人第5页共6页七、（本题满分10分）求级数1211arctannnn的和.iiiiiiiiarctan1arctan111arctan11arctan21arctan1arctan11arctan12niisnin442limnnss八、（本题满分9分）设为曲线01:22xzyL绕z轴旋转一周而成的旋转曲面与平面1z，1z围成的立体.求三重积分dvyx22.曲面的方程为1222zyxdvyx22201021122112zDrdrrddzdyxdzz1528121122dzz得分评阅人得分评阅人第6页共6页九、（本题满分9分）判别级数12276543211nnnn的敛散性（要指明是条件收敛、绝对收敛还是发散）.令122765432nnan，nnbn212654321，22122126543nnnncn，则nnncab，121nbann，11ncann，于是11121nann于是na单调减且0limnna，因而原级数收敛，由nan121知级数1nna收敛发散，原级数收敛条件收敛.十、（本题满分10分）设曲线xyy经过原点和点2,1M,且满足二阶微分方程0122yyy，求2y.令yp，则dydppy，原方程化为0122pydydpp由题设知cxy（常值函数），于是dyydpp121，通解为211ycp，即211ycdxdy，通解为2111cxcy，将00y，21y代入解得1,221cc，于是1121xxy，342y得分评阅人得分评阅人