南昌大学-2007～2008学年第二学期期末考试试卷

1南昌大学2007～2008学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空3分，共15分)1.设32,2,aijkbijk则(2)(3)ab_____.2.函数2222ln[(25)(4)]zxyxy的定义域是____________________________________.3.设函数(cossin)xzeyxy,则10xydz_______.4.交换累次积分的次序(,)221101yydyfxydx________.5.微分方程2'yyx的通解为__________.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.过点(3,0,1)且与平面375120xyz平行的平面方程是().(A)3540xz.(B)37540xyz.(C)350xyz(D)75120xyz.2．设2uzv,而2,2uxyvyx,则zx().(A)()()()22232xyxyyx.(B)()222xyyx.(C)()()2232xyxyyx.(D)()()22222xyyx.3．设可微函数(,)fxy在点00(,)xy取得极小值,则下列结论正确的是().(A)0(,)fxy在0yy处的导数大于零.2(B)0(,)fxy在0yy处的导数等于零.(C)0(,)fxy在0yy处的导数小于零..(D)0(,)fxy在0yy处的导数不存在.4．设L为取正向的圆周224xy,则曲线积分22()()Lxydxxydy之值为().(A)0.(B)4.(C)4.(D).5．函数()cosfxx关于x的幂级数展开式为().(A)2421(1)(11)nnxxxx(B)2421(11)nxxxx.(C)21(11)nxxxx.(D)2421(1)()2!4!(2)!nnxxxxn.三、求解下列各题(共2小题,每小题8分,共16分)1．求与两平面43xz和251xyz的交线平行且过点(3,2,5)的直线方程.2．设(,),zfuv而,yuxyve,且f具有二阶连续偏导数,求zxy2.四、求下列积分(共2小题,每小题8分,共16分):1、计算曲线积分222(2)()yyLxeydxxeydy,其中L是由点(,0)Aa沿上半圆周22(0)xyaxa到点(0,0)O的弧段.32、利用高斯公式计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy,其中为上半球面222zRxy的上侧。五、解下列各题(共2小题,每小题8分,共16分):1、判定正项级数1!nnnn的敛散性2、设幂级数114nnnxn.(1).求收敛半径与收敛区间;(2).求和函数.六、计算题（共2小题.每小题8分,共16分）:1、求微分方程'''2109xyyye的通解.2、(应用题)计算由平面0z和旋转抛物面221zxy所围成的立体的体积.七、(6分)已知连续可微函数()fx满足1(0)2f,且能使曲线积分[()]()xLefxydxfxdy与路径无关,求()fx.4附：南昌大学2007～2008学年第二学期期末考试试题答案一、填空题(每空3分，共15分)1.18.2.22(,)425xyxy.3.()edxdy.4.21110(,)xdxfxydy.5.11CxxyCeye或..二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.B2．A3．B4．A5．D三、求解下列各题(共2小题,每小题8分,共16分)1．解:因为所求直线与两平面的交线平行,也就是直线的方向向量s与两平面的法向量1n、2n都垂直.所以取12104(43)215ijksnnijk.故所求直线方程为325431xyz.2．解:'uzyfx2'''''yuuuuvzfyfxefxy'''''yuuuuvfxyfyef5四、求下列积分(共2小题,每小题8分,共16分):1、解:2222,.yyPxeyQxey222,22.yyQPxexexy2.QPxy连接OA构成闭路OABO,其围成区域为D.沿2101:0,2aOAyIxdxa.1LDQPIdIxy12DdI222112(2).2224aaa2、解:记1为平面0z的下侧.1,1,1.PQRxyz由高斯公式有原式113032.R五、解下列各题(共2小题,每小题8分,共16分):0A（a，0）BDxy61、解:11(1)!limlim!(1)nnnnnnunnunnlim1nnnn11lim1.11nnen所以原级数收敛.2、解:(1).11lim4..4nnnaRa当14x时,114nn发散;当14x时,11(1)4nnn收敛.故收敛区间为[1/4,1/4).(2).设()Sx114nnnxn.则111111'()4(4).14nnnnnSxxxx0011'()ln(14).144xxSxdxdxxx即1()ln(14).4Sxx[1/4,1/4).((0)0).S六、计算题（共2小题.每小题8分,共16分）:71、解:2121090.9,1.rrrr912.xxYCeCe2不是特征根,所以设2*.xyAe代入原方程得:211.*.77xAye故原方程的通解为:92121.7xxxyCeCee2、解法一:DVzd22(1)Dxydxdy21200(1)drrdr1240112.242rr解法二:Vdv2211000rdrdrdz21200(1)drrdr1240112.242rr七、(6分)解:(),().xPefxyQfx(),'().xPQefxfxyx8因为曲线积分与路径无关,所以QPxy.于是得：'()().xfxefx即：'()().xfxfxe()()dxxdxfxeeedxC()xxxeeedxC(1)().xxedxCeCx由1(0)2f,得1.2C1()().2xfxex