南昌大学第七届高等数学竞赛(09级数学专业类)试题

第1页共2页南昌大学第七届高等数学竞赛（2009级数学专业类）试卷一、填空题(每空3分，共30分)1、求极限)1ln()cos1(1cossin3lim20xxxxxx=；2、函数|2|)2()(2xxxxf不可导点的个数是；3、1022dxxx=；4、设xxf1)(ln，则)(xf=；5、函数xxycos2在区间[0，2]上的最大值为＝；6、设tytxcos12，则22dxyd=；7、若dttexFxxxt2sin)(（0x），则)(xF=；8、函数2312xx在0x处的n阶泰勒展开式（带佩亚诺型余项）为；9、若txxxttf2)11(lim)(，则)(tf=；10、)(limxfx存在的柯西准则是。二、设函数f在0x处连续，对每一个Rx成立)2()(xfxf，证明：f是常值函数.三、证明：函数2sinx在)(，上不一致连续.四、设nnan2111，Nn，证明数列na收敛.五、设)(xf在),0[上可导，且22)(0xxexf，试证：存在(0,),使得)1()(222ef.六、设)(xf在],[ba上可微，且0)(af，M是)(xf的上界，则Mbadxxfab)()(22.七、设函数)(xf在],[ba上有定义且在每一点处的极限存在，求证：)(xf在],[ba上有界.第2页共2页八、任意给定实数0a，令nnaacos1，（,2,1,0n），证明nnalim存在且不依赖于0a.九、设函数)(xf在),0[上单调增加，对于任何0T，)(xf在],0[T上可积，且cdttfxxx0)(1lim。证明：cxfx)(lim.