南昌大学第六届高等数学竞赛(数学专业类2008级)试卷参考答案

南昌大学第六届高等数学竞赛（数学专业类2008级）试卷参考答案序号：姓名：____学院:专业：学号：考试日期：2009年10月11日题号一二三四五六七八总分累分人签名题分3010101010101010100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每空3分，共30分)得分评阅人1、)3(limnnnnn=2；2、设)()2)(1()(nxxxxxf，则)0(f=!n；3、设exyey，求)0(y=21e；4、设xxxf11)(，则)()(xfn=1)1(!2)1(nnxn；5、设)(xf是连续函数，且10)(2)(dttfxxf，则)(xf＝1x；6、当x＝2ln1时，函数xxy2取得极小值；7、设Cxdxxxfarcsin)(，则)(xfdx=232)1(31x+C；8、函数)0()12()(1xdttxfx的单调减少区间为（0，1/4）；9、曲线321tytx在2t处的切线方程为073yx；10、)(limxfx的分析定义是0M,0X，对于Xxx:，有Mxf)(二、求极限nknnknnk1sinlimnknnk11sinnknknnk1sinnknnk1sin1lim1sinlim1nnnnknnknnknnk1sin=10sinxdx=2nknnnk1sinlim10sinxdx=2所以nknnknnk1sinlim=2三、证明函数xxxxf1sin12)(22在任何不含原点，也不以原点为端点的区间内一致连续，在（0,1）内不一致连续(1)若有限区间I内不含原点，且左右端点都不为零，由xxxxf1sin12)(22在I与其端点构成的闭区间0I上连续，所以在0I一致连续，从而在I一致连续。当I为无限区间，),(aI，),[aI或)0](,(),,(aaIaI，由于)(limxfx＝)(limxfx＝0,)(xf在]2,(a及),2[a上一致连续，故在其任一子区间上一致连续。(2)对0=1，0，2211nx，nx212：)1,0(,21xx，21xx，021211111)()(xxfxf四、设)(xf在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(ff，1)21(1)(lim221xxfx，试证：（1）存在)1,21(，使得)(f（2）对任意实数，必存在),0(，使得1])([)(ff（3）)(xf在[0,1]上的最大值大于11）由1)21(1)(lim221xxfx知1)21(f令xxfxg)()(，则0)21(g，0)1(g据零点定理知存在)1,21(，使得0)(g，即)(f.（2）令xexxfxF))(()(，则)(xF在],0[连续，在),0(可导，0)()0(FF据罗尔定理，存在),0(，使得0)(F，即1])([)(ff（3）由1)21(1)(lim221xxfx0,及极限的保号性，在x=1/2的某邻域，0)21(1)(2xxf即1)(xf，而)(xf在[0,1]上有最大值，故)(xf在[0,1]上的最大值大于1五、设)(xf在[0，2]上二次可导，且0)1(f)20()(xMxf，则203)(Mdxxf2/)1)(()1)(1()1()(2xfxffxf（其中介于x与1之间），注意到0)1(f200)1)(1(dxxf，可得3)1(2)(22020MdxxMdxxf六、设)(xf在],[ba上连续，存在连续导数)(xf，且0)(af.以M，M分别表示)(xf，|)(|xf在],[ba上的最大值，证明：（1）badxxfabM22)]([)(（2）badxxfabM|)(|)(22（1）若M=0，结论显然成立；若0M，设)(cfM（],(bac），则22))((cadxxfMcadxdxxfca2))(()(acdxxfca2))((badxxfab2)]([)(（2）由中值定理存在),(ba，使得))(())(()()(axfaxfafxfdxaxfdxxfbaba))((|)(|badxaxM)(=2)(2abM所以badxxfabM|)(|)(22七、设)(xf在],[ba上连续，且有唯一最小点0x.若],[baxn，)()(lim0xfxfnn，证明：0limxxnn（反证）设0limxxnn不成立，则00，在nx中可选子列knx，满足00||xxkn。这是一个有界点列，可以从中选出收敛子列，不妨仍记为}{knx，1limxxknk，则],[1bax。于是)(0xf＝)(limnnxf＝)()(lim1xfxfknk，与最小值点的唯一性矛盾。八、证明：若存在常数c，Nn，有cxxxxxxnn12312，则数列nx收敛令na12312nnxxxxxx，则na是单调上升有上界的数列，因此nnalim存在.据柯西收敛准则0，NN，对NpNn,有npnaa而npnnnpnpnnpnaaxxxxxx11，于是0，NN，对NpNn有npnnnpnpnnpnaaxxxxxx11，所以，据柯西收敛准则数列nx收敛出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。