数字图像处理(频域处理)

数字图像处理基础频域处理KunmingUniversityofScienceandTechnology内容一维离散傅立叶变换及其反变换二维离散傅立叶变换及其反变换傅里叶变换的性质频域滤波图像平滑图像锐化KunmingUniversityofScienceandTechnologyJeanBaptisteJosephFourier法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到了广泛的应用。KunmingUniversityofScienceandTechnologyTheBigIdea=任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnology一维离散傅立叶变换及其反变换离散函数f(x)(其中x=0,1,2,…,M-1)的傅立叶变换:傅立叶变换是可逆的，F(u)的反变换的反变换:12/0()()MjuxMxFufxe1,...,2,1,0Mu12/01()()MjuxMufxFueM1,...,2,1,0MxKunmingUniversityofScienceandTechnology一维离散傅立叶变换及其反变换(cont…)观察傅立叶反变换由欧拉公式则即，空域函数f(x)可表示为M个正弦(余弦)函数的累加，F(u)/M为对应频率分量的幅度(系数),因此，F(u)覆盖的域(u值)称为频率域。从另一角度,空域函数f(x)被表示为直流分量和交流分量F(0)/M对应的是直流分量的幅值,其余F(u)/M对应交流分量的幅值。sincosjej12/0101()()1()[cos(2/)sin(2/)]MjuxMuMufxFueMFuuxMjuxMMKunmingUniversityofScienceandTechnology傅立叶变换的意义•傅立叶变换可以看作数学的棱镜,将函数基于频率分成不同成分.当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。这是属于线性滤波核心的重要概念。KunmingUniversityofScienceandTechnology二维离散傅立叶变换DiscreteFourierTransform(DFT)一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):(x=0,1,2…M-1andy=0,1,2…N-1)foru=0,1,2…M-1andv=0,1,2…N-1.1010)//(2),(),(MxNyNvyMuxjeyxfvuFKunmingUniversityofScienceandTechnologyDFT&Images二维图像的DFT结果可由图像各频率成分的频谱图展示ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)DFTKunmingUniversityofScienceandTechnologyDFT&ImagesImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnologyDFT&ImagesImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnologyDFT&Images(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)DFTScanningelectronmicroscopeimageofanintegratedcircuitmagnified~2500timesFourierspectrumoftheimageKunmingUniversityofScienceandTechnologyDFT&Images(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnologyDFT&Images(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnology二维DFT反变换二维离散傅立叶逆变换:forx=0,1,2…M-1andy=0,1,2…N-11010)//(2),(1),(MuNvNvyMuxjevuFMNyxfKunmingUniversityofScienceandTechnology二维DFT反变换(cont…)(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为1100(0,0)(,)MNxyFfxy即图像f(x,y)各像素灰度级的和，F(0,0)/MN即为图像灰度的均值。F(0,0)称为频率谱的直流分量(系数)，其它F(u,v)值称为交流分量(交流系数)。KunmingUniversityofScienceandTechnology二维DFT的极坐标表示•频率谱相位谱功率谱),(),()(vujevuFuF),(),(),(22vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu),(),(),(22vuIvuRvuPKunmingUniversityofScienceandTechnology二维傅里叶变换的性质周期性傅里叶级数(DFS)有周期性M×N，反变换也是周期性的。DFT是其中的一个周期。1010)//(2),(),(MxNyNvyMuxjeyxfvuF1010)//(2),(1),(MuNvNvyMuxjevuFMNyxfKunmingUniversityofScienceandTechnology二维DFT傅里叶变换的性质平移特性)//(20000)//(20000),(),(),(),(NyvMuxjNyvMxujevuFyyxxfvvuuFeyxf当u0=M/2,v0=N/2时002(//)()(,)(,)(,)(1)juxMvyNjxyxyfxyefxyefxy通常在变换前用(-1)x+y乘以输入图像函数，实现频域中心化变换：(,)(1)(,)22xyMNfxyFuvKunmingUniversityofScienceandTechnologyKunmingUniversityofScienceandTechnology频率域的基本性质频率域的基本性质：频域的中心邻域对应图像中慢变化部分，较高的频率开始对应图像中变化较快的部分（如：物体的边缘、线条等）。Matlab示例：example4_0.mKunmingUniversityofScienceandTechnology频域滤波卷积定理：空间域的乘法对应频域卷积KunmingUniversityofScienceandTechnology频域滤波的折叠误差干扰使用DFT进行滤波操作，图像及其变换均视为周期性的。若周期关于函数的非零部分持续时间很靠近，则对周期函数执行卷积运算会导致相邻周期间的干扰——折叠误差干扰。通过使用零填充函数的方法避免折叠误差干扰。Matlab示例：example4_1.mKunmingUniversityofScienceandTechnology频域滤波的步骤1.计算图像的离散傅立叶变换F(u,v)2.用滤波函数H(u,v)乘以F(u,v)3.计算乘积的离散傅立叶反变换ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnology一些基本的频域滤波器ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)LowPassFilterHighPassFilterKunmingUniversityofScienceandTechnology低通滤波器滤波结果ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnology高通滤波器滤波结果ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnology频域平滑滤波器通过过滤掉频域的高频成分达到平滑目的滤波的基本模型:G(u,v)=H(u,v)F(u,v)其中F(u,v)是图像的傅立叶变换结果，H(u,v)称为滤波器传输函数低通滤波器（Lowpassfilters）–仅保留低频分量而过滤掉高频分量。KunmingUniversityofScienceandTechnology理想低通滤波器将频域中所有与原点的距离超过D0的高频分量截取掉改变距离D0将改变滤波器滤波效果ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnology理想低通滤波器(cont…)理想低通滤波器的传输函数:其中D(u,v)为:00),(if0),(if1),(DvuDDvuDvuH2/122])2/()2/[(),(NvMuvuDKunmingUniversityofScienceandTechnology理想低通滤波器(cont…)左图为原始图像,右图为其傅立叶变换结果，并在其上绘出半径分别为5,15,30,80和230的低通滤波器。ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnology理想低通滤波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnology理想低通滤波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)KunmingUniversityofScienceandTechnology理想低通滤波器(cont…)ImagestakenfromGonzalez&Woods,DigitalImageProcessing(2002)OriginalimageResultoffilteringwithideallowpassfilterofradius5Resultoffilteringwithideallowpassfilterofradius30Resultoffilteringwithideallowpassfilterofradius230Resultoffilteringwithideallowpassfilterofrad