(通用版)2020高考数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性课件文

函数的奇偶性与周期性第三节课前自修区基础相对薄弱，一轮复习更需重视基础知识的强化和落实课堂讲练区考点不宜整合太大，挖掘过深否则会挫伤学习的积极性课时跟踪检测课前自修区一、基础知识批注——理解深一点1．函数的奇偶性❶偶函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x定义都有f(－x)＝f(x)❷，那么函数f(x)是偶函数都有f(－x)＝－f(x)❷，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称❷若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f－xfx＝1⇔f(x)为偶函数；(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f－xfx＝－1⇔f(x)为奇函数．❶函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．最小二、常用结论汇总——规律多一点1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a0)．(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()××√√√(二)选一选1．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f92等于()A.12B.2C.22D．1解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，则f92＝f12＝212＝2.答案：B2．函数f(x)＝3x－2x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称解析：因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝3－x－(－2x)＝－3x＋2x＝－3x－2x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－2x是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称．答案：C3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B．13C．12D．－12解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13.答案：B(三)填一填4．(2019·武汉调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2－x＋x2，则f(2)＝________.解析：法一：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－[2－(－2)＋(－2)2]＝－(4＋4)＝－8.法二：当x0时，－x0，∴f(－x)＝2－(－x)＋(－x)2＝2x＋x2，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－2x－x2，∴f(2)＝－22－22＝－8.答案：－85.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为________．解析：由函数f(x)为奇函数，作出函数在[－5,0)上的图象，由图象知，不等式f(x)0的解集为(－2,0)∪(2,5]．答案：(－2,0)∪(2,5]课堂讲练区考点一函数奇偶性的判断[典例]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝36－x2|x＋3|－3；[解]由f(x)＝36－x2|x＋3|－3，可知36－x2≥0，|x＋3|－3≠0⇒－6≤x≤6，x≠0且x≠－6，故函数f(x)的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝log21－x2|x－2|－2；[解]由1－x2≥0，x2－1≥0⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．[解]由1－x20，|x－2|－2≠0⇒－1x0或0x1，定义域关于原点对称．此时f(x)＝log21－x2|x－2|－2＝log21－x22－x－2＝－log21－x2x，故有f(－x)＝－log2[1－－x2]－x＝log21－x2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(4)f(x)＝x2＋x，x0，x2－x，x0.[解]法一：图象法画出函数f(x)＝x2＋x，x0，x2－x，x0的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．法二：定义法易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x0时，f(x)＝x2＋x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．[解题技法]判定函数奇偶性的2种常用方法(1)定义法(2)图象法口诀归纳奇函数，有中心；偶函数，轴对称．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是()A．y＝tanx＋π4B．y＝x2＋e|x|C．y＝xcosxD．y＝ln|x|－sinx解析：对于选项A，易知y＝tanx＋π4为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcosx，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以y＝xcosx为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sinx，则f(2)＝ln2－sin2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sinx为非奇非偶函数，故选B.答案：B2．设函数f(x)＝ex－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数解析：∵f(x)＝ex－e－x2，则f(－x)＝e－x－ex2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．答案：D考点二函数奇偶性的应用[典例](1)(2019·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x，则当x0时，f(x)＝()A．－2xB．2－xC．－2－xD．2x[解析]当x0时，－x0，∵x0时，f(x)＝2x，∴当x0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.[答案]C(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f(x)＝a－2ex＋1(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－3,3)D．(－4,4)[解析]法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－2e－x＋1＝－a＋2ex＋1，得2a＝2ex＋1＋2e－x＋1，所以a＝1ex＋1＋exex＋1＝1，所以f(x)＝1－2ex＋1.因为ex＋11，所以01ex＋11，－11－2ex＋11，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－2ex＋1.因为ex＋11，所以01ex＋11，－11－2ex＋11，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．[答案]A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2D．－4解析：根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.答案：C2．已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，函数f(x)的最大值为________．解析：法一：当x0时，－x0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－x＋122＋14，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14.法二：当x0时，f(x)＝x2－x＝x－122－14，最小值为－14，因为函数f(x)为奇函数，所以当x0时，函数f(x)的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即－xln(a＋x2－x)＝xln(x＋a＋x2)，从而ln[(a＋x2)2－x2]＝0，即lna＝0，故a＝1.答案：1考点三函数的周期性[典例](1)(2018·开封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2019)＝()A．5B．12C．2D．－2[解析]由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.[答案]D(2)(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝cosπx2，