数项级数习题课完整版

第十二章习题课nnnuuuuu32111、常数项级数常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在).niinnuuuus121级数的部分和定义级数的收敛与发散性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和..0limnnu级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun一般项级数4.绝对收敛(2)比较审敛法的极限形式设1nnu与1nnv都是正项级数,如果lvunnnlim,则(1)当l0时,二级数有相同的敛散性;(2)当0l时，若1nnv收敛,则1nnu收敛;(3)当l时,若1nnv发散,则1nnu发散;定义0,1nnnuu.有界部分和所成的数列正项级数收敛ns2、正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法若1nnu收敛(发散)且)(nnnnvuuv,则1nnv收敛(发散).设1nnu为正项级数,如果0limlnunn(或nnnulim),则级数1nnu发散;如果有1p,使得npnunlim存在,则级数1nnu收敛.(3)极限审敛法(4)比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)设1nnu是正项级数,如果)(lim1数或nnnuu则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.(5)根值审敛法(柯西判别法)设1nnu是正项级数,如果nnnulim)(为数或,则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.定义正、负项相间的级数称为交错级数.)1()1(111nnnnnnuu或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.)0(nu其中3、交错级数及其审敛法定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理若1nnu收敛,则1nnu收敛.定义:若1nnu收敛,则称0nnu为绝对收敛;若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu为条件收敛.4、任意项级数及其审敛法二、典型例题;)1()1(:11nnnnnnn判断级数敛散性例1解nnnnnnnnu)1(1,)11(21nnnnnnnnnnn122])11[(lim)11(lim2;10exxnnxn11limlim}ln1limexp{xxx}1limexp{xx;10e,01limnnu根据级数收敛的必要条件，原级数发散．;23cos)2(12nnnn解,223cos2nnnnnnu,2nnnv令nnvvnnnnnn221limlim11nnn21lim,121,21收敛nnn根据比较判别法，原级数收敛．1).0()1()2ln()3(nnanan解nanunnnnn1)2ln(limlim,)2ln(lim1nnna,2,2nenn时从而有,)2ln(1nnnn,1limnnn由于,1)2ln(limnnn.1limaunnn,1100时即当aa原级数收敛；,1110时即当aa原级数发散；,1时当a,)11()2ln(1nnnn原级数为,)11()2ln(limnnnn原级数也发散．例题解析-例1-41!4nnenn（）解nnnnneu!nnnuu1limnnnnne1limnnnnnnnenne!1!1lim11111limnnne11111nnnneuu而nnuu1所以eu1又,limeunn所以0limnnu故：原级数发散。例题解析-例1-5153sin5nn（）解：而1153nnnnnvnnnu5sin3nnnv53取nnnnnnnnvu535sin3limlim则也收敛。故：15sin3nn收敛153q155sinlimnnn61[(1)3]66nnnn（）解nnnvv1lim）（*646]3)1[(66nnnnnnn16164nnnnnnv考察级数nnnnnnn4664)1(lim6116666)1(4limnnn61164limnn164原级数收敛。可知、故：由(**)(*)）（收敛**64161nnnnnnv）（非绝对收敛从而*11121nnn解例2判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？12nnun发散而111nn发散，所以1nnu01limlim2nnunnn又)1(1)(2xxxxf设222'11)(xxxf则)1(0x）上单调递减，在1[)(xf121111nnn（）1nnuu***故：由（）、（）原级数条件收敛。112nnnn）（收敛。由莱布尼兹判别准则，**11121nnn非绝对收敛从而1111nnn解nnun1发散而121nn发散，所以1nnunnunnn1limlim又11211nnn（）nn11n21nnn11lim0nnnnun1111211nunn故：原级数条件收敛。解213.lim(0),nnnnnalla例已知问级数是否收敛？nnan2lim已知由1211nnnna敛散性同级数所以级数收敛而级数121nn收敛。故：级数1nna)0(1lim2llnann解14.01,2,),nnnana例已知（且收敛，试考察下列级数的收敛性：21(1)nna）（1112nnnaa（）13nnan（）收敛1nna0limnna,1,0naNnN时，有当所以nnaa2收敛。）知道由比较法（推论211nna）（21121nnnnaaaa收敛11nnnaa13nnan（）nanann12121nan均收敛与而1211nnnna收敛。所以1nnna1116.0(1,2,),(1),11nnnnnnnnanaaa例设单调递减，发散判别的敛散性。解,0单调递减且有下界由题设知na有极限。所以na。不妨设)0(limllann，若0l11)1(nnna收敛，交错级数则由莱布尼兹判别准则0limlann与题设矛盾，故laannnnnn1111lim11lim由根值判别法，有故1收敛。故：111nnna敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，是否收判断级数1ln)1(nnnn例7解,1ln1nnn,11发散而nn,ln1ln)1(11发散nnnnnnn即原级数非绝对收敛．,ln)1(1级数是交错nnnn由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim,01limxx,0ln11limln1limnnnnnnn),0(ln)(xxxxf),1(011)(xxxf,),1(上单增在,ln1单减即xx,1ln1时单减当故nnn),1()1ln()1(1ln11nunnnnunn所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．