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2一、重点与难点重点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数3复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充要条件充要条件必要条件必要条件幂级数幂级数收敛半径R收敛半径R复变函数复变函数绝对收敛绝对收敛运算与性质运算与性质解析在0)(zzf为复常数α)(zfnn为函数λ∑∞=1nnα收敛条件收敛条件条件收敛条件收敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数二、内容提要41.复数列,0数相应地都能找到一个正如果任意给定ε,),(时成立在使NnNn−εααε,}{时的极限当称为复数列那末∞→nnαα记作.limαα=∞→nn.}{αα收敛于此时也称复数列n,),2,1(}{其中为一复数列设=nnα,nnniba+=α,为一确定的复数又设iba+=α5++++=∑∞=nnnαααα211表达式称为复数项无穷级数.其最前面项的和nnnsααα+++=21称为级数的部分和.部分和2.复数项级数,),2,1(}{}{为一复数列设=+=nbannnα1)定义62)复级数的收敛与发散0lim1=⇒∞→∞=∑nnnnαα收敛都收敛与收敛∑∑∑∞=∞=∞=⇔111nnnnnnbaα充要条件必要条件,}{收敛如果部分和数列ns,1收敛那末级数∑∞=nnα.lim称为级数的和并且极限ssnn=∞→,}{不收敛如果部分和数列ns.1发散那末级数∑∞=nnα7非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛如果收敛,那末称级数为绝对收敛.∑∞=1nnα∑∞=1nnα.111绝对收敛与绝对收敛∑∑∑∞=∞=∞=⇔nnnnnnbaα绝对收敛条件收敛8)()()()(21zfzfzfzsnn+++=称为这级数的部分和.级数最前面项的和n3.复变函数项级数,),2,1()}({为一复变函数序列设=nzfn++++=∑∞=)()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作.)(1∑∞=nnzf94.幂级数1)在复变函数项级数中,形如.zczczcczcnnnnn+++++=∑∞=22101的级数称为幂级数.,0时当=a+−+−+=−∑∞=22100)()()(azcazccazcnnn+−+nnazc)(10----阿贝尔Abel定理如果级数∑∞=0nnnzc)0(0≠=zz0zz0zz=0zz,z在收敛,,z那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足2)收敛定理11(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.3)收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处处收敛.(2)对所有的正实数除0=z外都发散.12在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意xyoα.β.R收敛圆收敛半径13方法1:比值法方法2:根值法4)收敛半径的求法,0lim1≠=+∞→λnnncc如果那末收敛半径.1λ=R⎪⎩⎪⎨⎧+∞==∞++∞=.,0;0,;0,1λλλλR即,0lim≠=∞→λnnnc如果那末收敛半径.1λ=R14.,)(,,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn====∑∑∞=∞=设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf±=±=±∑∑∑∞=∞=∞=),()()()(00∑∑∞=∞=⋅=⋅nnnnnnzbzazgzf∑∞=−+++=00110,)(nnnnnzbababaRz),min(21rrR=5)幂级数的运算与性质15如果当rz时,,)(0∑∞==nnnzazf又设在Rz内)(zg解析且满足,)(rzg那末当Rz时,∑∞==0.)]([)]([nnnzgazgf(2)幂级数的代换(复合)运算复变幂级数在收敛圆内的解析性∑∞=−00)(nnnzzc设幂级数的收敛半径为,R那末是收敛圆Raz−内的解析函数.它的和函数∑∞=−=00)()(nnnzzczf,)(zf即(1)16(2))(zf在收敛圆Raz−内的导数可将其幂级数逐项求导得到,即.)()(110∑∞=−−=′nnnzznczf(3))(zf在收敛圆内可以逐项积分,即∑∫∫∞=−∈−=0.,d)(d)(ncnncRazczazczzf或∑∫∞=+−+=01.)(1d)(nnnzaazncfζζ175.泰勒级数,2,1,0),(!10)(==nzfncnn其中泰勒级数1)定理设)(zf在区域D内解析,0z为D内的一d为0z到D的边界上各点的最短距离,那末点,dzz−0时,∑∞=−=00)()(nnnzzczf成立,当18,!!!21)1(02∑∞==+++++=nnnznznzzze,111)2(02∑∞==+++++=−nnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)4(1253++−+−+−=+nzzzzznn2)常见函数的泰勒展开式)1(z)1(z)(∞z)(∞z,)1()1(111)3(02∑∞=−=+−+−+−=+nnnnnzzzzz19,)!2()1(!4!21cos)5(242+−+−+−=nzzzznn)(∞z,1)1(32)1ln()6(132++−+−+−=++nzzzzznn∑∞=++−=011)1(nnnnz)1(z+−−+−++=+32!3)2)(1(!2)1(1)1()7(zzzzααααααα,!)1()1(++−−+nznnααα)1(z206.洛朗级数定理内可展开成洛朗级数在那末析内处处解在圆环域设DzfRzzRzf)(,)(201−,)()(0nnnzzczf−=∑∞−∞=∫+−=Cnnzficζζζd)()(π2110其中),1,0(±=nC为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线.0z为洛朗系数.1)21函数)(zf在圆环域内的洛朗展开式)(zf在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.nnnzzczf)()(0−=∑∞−∞=某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这就是f(z)的洛朗级数.22根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法,d)()(π2110∫+−=Cnnzficζζζ根据洛朗定理求出系数.)()(0nnnzzczf−=∑∞−∞=然后写出23三、典型例题例1判别级数的敛散性.;21)1(1∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+nnin解∑∞=11nn因为发散，∑∞=121nn收敛，.211发散所以∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+nnin24三、典型例题例1判别级数的敛散性.;251)2(1∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+nni解,226251nni⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+因为,0226lim≠⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞→nn.2511发散所以∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+nni25;)3(1∑∞=nnni解+++−−=∑∞=5413211iiininn因为⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−=614121,51311⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−+i.1收敛故∑∞=nnni收敛收敛三、典型例题例1判别级数的敛散性.26.)32(1)4(1∑∞=+nni解,)32(1nni+=α设innnn321limlim1+=∞→+∞→αα因为131=,1由正项级数的比值判别法知∑∞=+1)32(1nni绝对收敛.三、典型例题例1判别级数的敛散性.27例2求下列幂级数的收敛半径.)4(!)3(!)2()1(100022∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=kknnnnnnzznnznz解nnncc1lim)1(+∞→由22)1(lim+=∞→nnn,1=.1=R得nnncc1lim)2(+∞→由)!1(!lim+=∞→nnn,0=.∞=R得nnncc1lim)3(+∞→由!)!1(limnnn+=∞→,∞=.0=R得28∑∞=12)4(kkz⎩⎨⎧=≠=.,1;,0,22knknCn即因为级数是缺项级数,1lim1==∞→nnnCR故.1=R29例3展开函数成的幂级数到项.zeezf=)(z3z解,)(zezeezf=′,)()(2zzezezeeeezf+=′′zzzezezezeeeeeezf32)()(3)(++=′′′由此得,)0(ef=,)0(ef=′,2)0(ef=′′.5)0(ef=′′′所以.6532++++=ezezezeeze解析函数展为幂级数的方法利用定义来求.30分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解)(21cosizizzzeeeze−+=因为][21)1()1(ziziee−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=∑∑∞=∞=00!)1(!)1(21nnnnnnnzinzinnnnziin])1()1[(!1210−++=∑∞=)(∞z例4求在的泰勒展式.zezfzcos)(=0=z31nnininnzzeenze∑∞=π−π⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=044!)2(21cos所以.4cos!)2(0nnnznnπ=∑∞=)(∞z由于,214ieiπ=+;214ieiπ−=−32例5.sin的幂级数展开成把zzez分析：利用级数的乘除运算较为简单.解,!0∑∞==nnznze因为,)!12()1(sin012∑∞=++−=nnnnzz故乘积也绝对收敛.,内绝对收敛两级数均在∞z++++++=2)010()01(0sinzzzez所以.30131532+−++=zzzz)(∞z33例6.0sec)(的泰勒展开式在点求==zzzf设+++++=nnzczczcczf2210)(又,)()(2210−+−==−zczcczfzf由泰勒展式的唯一性,,0531====ccc又,!4!21cos42−+−=zzz所以)(!4!21seccos14422042+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−==zczcczzzz解利用待定系数法34+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=40242020!4!2!2zccczccc+++=42!45!211seczzz所以⎟⎠⎞⎜⎝⎛π2z比较两端系数得,10=c,!212=c,!454=c35例7.1)1(13内的泰勒展开式在求函数−zz分析：利用逐项求导、逐项积分法.解″−=−−])1[(21)1(113zz因为)1(z所以″⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−∑∞=0321)1(1nnzz22)1(21−∞=∑−=nnznn.)1)(2(210mmzmm∑∞=++=)1(z36例8.11的幂级数展开成把zez−解利用微分方程法,)(11zezf−=因为211)1(1)(zezfz−=′−,)1(1)(2zzf−=,0)()()1(2=−′−zfzfz所以对上式求导得0)()32()()1(2=′−+′′−zfzzfz370)(2)()54()()1(2=′+′′−+′′′−zfzfzzfz由此可得,)0()0(eff=′=,3)0(ef=′′,13)0(ef=′′′故.!313!2313211⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++=−zzzeez)1(z38例9.0)1)(3(785)(2234的泰勒展开式在点求=+−−−−+=zzzzzzzzf分析:利用部分分式与几何级数结合法.即把函数分成部分分式后,应用等比级数求和公式.解2)1(1322)(++−++=zzzzf1313131−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−zznnnz∑∞=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0131)3(z)(1111zz−−=+nnnz∑∞=−=0)1()1(z39∑∞=−−−=+1112)1()1(1nnnnzz即nnnzn)1()1(0+−=∑∞=)1(z故2)1(1322)(++−++=zzzzf,)1()1(1112∑∞=−−=+−nnnznz)1(z两端求导得40nnnnnnznzz)1()1(3122001+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++=∑∑∞=∞=+zzzznnn213129232221−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−−+=∑∞=+nnnzn)1()1(2+−+∑∞=nnnnznz∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+−=213