复杂网络的同步12.10

一、同步现象举例1665年，物理学家惠更斯发现：并排挂在墙上的两个钟摆不管从什么不同的初始位置出发，经过一段时间以后会出现同步摆动的现象。1680年，荷兰旅行家肯普弗在泰国旅行时观察到了一个奇特的现象：停在同一棵树上的萤火虫有时候同时闪光又同时不闪光，很有规律而且在时间上很准确。这两个例子表现的就是现实世界中的同步现象。当一场精彩的戏剧演出结束时，人们的掌声从三三两两，到大家都按着共同的节奏鼓掌。在我们的心脏中，无数的心脏细胞同步震荡着，他们同时做着一个动作，使心瓣膜舒张开，然后又一下子同时停下来，心瓣膜就收缩了。同步在激光系统、超导材料和通信系统等领域中起着重要的作用。•有些同步时有害的。如：2000年伦敦千年桥落成，当成千上万的人们开始通过大桥时，共振使大桥开始振动。桥体的S形振动所引起的偏差甚至达到了20cm，使得桥上的人们开始恐慌，大桥不得不临时关闭。Internet上也有一些对网络性能不利的同步想象。如：Internet网上的每个路由器都要周期性地发布路由消息。尽管每个路由器都是自己决定它什么时候发布路由信息，但是研究人员发现不同的路由器最终会以同步的方式发送路由消息，从而引发网络交通阻塞。•实际上，在物理学，数学和理论生物等领域，耦合动力学系统中的同步现象已经研究了很多年。•（1967年，Winfree开创性的工作）假设每个振子只与它周围有限个振子之间存在着强力作用（忽略振子的振幅变化），这样将同步问题转化成研究相位变化的问题。•Kuramoto认为，一个具有有限个恒等振子的耦合系统，无论系统内部各振子间的耦合强度多么微弱，其动力学特性都可由一个简单的相位方程表示。20世纪，工作大多数集中在具有规则拓扑形状的网络结构上，例：耦合映象格子（全耦合或最近邻耦合等）和细胞神经网络等。人们重点研究网络节点的非线性动力学所产生的复杂行为。缺点：没有考虑网络结构复杂性对网络动态行为的影响。然而网络的拓扑结构在决定网络动态特征方面起到很重要的作用。例如，WuCW的结果表明：在一定条件下，足够强的耦合可以导致网络中节点间的同步现象。缺点：无法解释弱耦合情况下，许多复杂网络仍出现较强的同步现象。各种复杂网络共有的小世界和无标度特性的发现，使得人们开始关注网络的拓扑结构与网络同步化行为之间的关系。二、同步的基本概念(精确)同步：两个或多个动力学系统，除了自身的演化外，其间还有相互作用（耦合），这种作用既可以是单向的，也可以是双向的。当满足一定条件时，在耦合的影响下，这些系统的状态输出就会逐渐趋同进而完全相等，称为同步（精确同步）。广义的同步还包括相同步和频率同步等等。复杂系统中的同步主要有两大类：完全同步和广义同步，前者两个相同单元研究得比较多，两个不同单元研究得比较少；后者包括部分同步，如相同步、滞后同步、频率同步等。两个不同单元的同步研究更具挑战性，是今后一个重要研究方向。6三、复杂网络的完全同步判据1.数学描述首先介绍一般连续时间耦合网络的完全同步问题。设连续时间耗散耦合动态网络中有个相同的节点，其中第个节点的状态变量为：•单个节点满足的状态方程是：•多个节点的耦合动态网络中，的状态方程是：（1）其中：是定义好的函数（通常是非线性的）常数为网络的耦合强度；Ni()ixfxix0c()()1NxfxcaHxiiijjj()f1节点状态变量之间的内部耦合函数，也称为节点的输出函数，这里假设每个节点的输出函数是相同的。所谓耗散耦合是指耦合矩阵满足耗散耦合条件。当所有的节点状态都相同时，（1）式右端的耦合项自动消失。如果在动态网络（1）中，当时有：（2）则称网络达到完全（渐进）同步。这里，称为网络状态空间中的同步流形。当同步实现后，记其结果为：（3）这里称为同步状态。()H[]ijnnAa0ijjat12()()()nxtxtxt12()()()()nxtxtxtst()st12nxxx2.同步的判定对状态方程（1），关于同步状态做线性化，令为第个节点状态向量的变分，则可以得到变分方程：（4）这里，和分别是和关于的Jacobi矩阵，通常要求为无界。令：则上式可以写成矩阵方程：（5）做分解,其中，而是矩阵的特征根且。()stii1()(),1,2,NiiijijDfscaDsiN()Dfs()Ds()fs()ss12[,,,]N()()TDfscDsA1TASS12(,,,)Ndiag1{}NkkA10令，则有：(6)判断同步流形稳定的一个常用判据是要求方程（6）的横截lyapunov指数全为负值。在方程（6）中，只有和与相关，并考虑到外耦合矩阵A为非对称阵时，其特征值可能为复数，故定义主稳定方程为：其最大lyapunov指数是变量和的函数，称为动力网络的主稳定函数。12[,]NS，，[()()],1,2,,kkkDfscDskNkkkyDfsciDsymaxL给定一个耦合强度对于每一个固定的在复平面上可以对应地找到固定的一点，该点所对应的正负号反应了该特征模态的稳定性（负时稳定，正时不稳定）。如果与对应的所有特征模态都稳定，那么就认为在该耦合强度下整个网络的同步流形是渐进稳定的。(1,2,,)kkN(,)kcmaxL(1,2,,)kkNc无权无向连通的简单网络的外耦合矩阵A的特征根均为实数，不妨排列为这时其主稳定方程（6）变为并且其对应的主稳定函数是实参数的函数。使得主稳定函数为负的的取值范围称为动态网络（1）的同步化区域，主要由孤立节点上的动力学函数，耦合强度以及外耦合矩阵和内耦合矩阵函数确定。如果耦合强度与每个外耦合矩阵的每个负值的特征值之积都属于同步化区域，即：那么同步流形是渐进稳定的。N3210yDfscDsymaxLmaxLS()fcA()cANkSck,,3,2,3.网络分类根据同步化区域可以把连续时间复杂动态网络（1）分为以下几种类型：1）类型Ⅰ网络对应的同步化区域为，其中。若网络耦合强度和外耦合矩阵的特征值满足，即满足同步判据Ⅰ：那么类型Ⅰ网络的同步流形是渐进稳定的。因此，类型Ⅰ网络关于拓扑结构的同步化能力可以用对应的外耦合矩阵的第二大特征值来刻画：值越小，其同步化能力越强。S11(,)S1021c120cA222）类型Ⅱ网络对应的同步化网络区域，其中。若网络耦合强度和耦合矩阵的特征值满足和，即满足同步判据条件Ⅱ：或者那么，类型Ⅱ网络的同步流形是渐进稳定的。因此，类型Ⅱ网络关于拓扑结构的同步化能力可以用对应的外耦合矩阵的特征值的比率来刻画：值越小，其同步化能力越强。3）类型Ⅲ网络对应的同步化区域为。对于任意的耦合强度和外耦合矩阵，这类网络都无法实现同步。221(,)S21021c2Nc122Nc221NA2N2N3S空集cA注意：一个给定的复杂动态网络(1)属于上述三种类型中的哪一种是由该网络的孤立节点的动力学函数和网络的内外耦合函数和确定的。尽管同步判据Ⅰ和Ⅱ之间的精确关系目前还不十分清楚，但是它们并不矛盾。此外，假设网络是连通的，那么只要网络的耦合强度充分大，类型Ⅰ网络是一定可以实现同步的；而只有当耦合强度属于一定范围内时类型Ⅱ网络才能实现同步，也就是说，太弱或太强个耦合强度都会使类型Ⅱ网络无法实现同步。这里，同步判据Ⅰ和Ⅱ的值一般可以通过数值计算来估计。()f()四、复杂动力网络的完全同步1、规则网络的完全同步1）类型Ⅰ网络类型Ⅰ网络的同步化能力由耦合矩阵的第二大特征值确定。①最近邻耦合网络对于节点度为（偶数）K的最近邻耦合动态网络（1）而言，它对应的耦合矩阵是一个特殊的循环矩阵，其第二大特征值为：在一般情况下，对于任意K，当网络规模时，单调上升趋于零，意味着当网络规模很大时，最近邻耦合网络很难或无法达到同步A2NCA22,214sin()KNCjjNN,2NC②全局耦合网络全局耦合网络对应的耦合矩阵为：它除了零特征根外，其余的特征根均。因此，当网络的规模时，单调下降趋于无穷，说明网络很容易达到同步。111111111GCNNANNN,2GCN③星形网络星形网络对应的耦合矩阵是：它的第二大特征根为：，与网络的规模无关，故同步化能力与网络规模无关。111110101SCNA,21SC对于连续时间耗散耦合的类型Ⅰ动态网络式(1)，可以得到一下结论：(1)对给定的耦合强度，不管它有多大，当网络规模充分大时，最近邻耦合网络无法达到同步。(2)对给定的非零耦合强度，不管它有多小，只要网络规模充分大，全局耦合网络必然可以达到同步。(3)星形耦合网络的同步能力与网络的规模无关，即当耦合强度大于一个与网络规模无关的临界值时，星形网络可以实现同步。cc2）类型Ⅱ网络类型Ⅱ网络的同步能力由外耦合矩阵的最小特征值与第二大特征值之比确定。①最近邻耦合网络对于节点度为（偶数）K的最近邻耦合动态网络（1）而言，它对应的耦合矩阵的特征值满足：当网络节点很大时，这个特征根的比很大，因而网络的同步化能力很差。2NANCA2,3,2(32),12(1)(2)NCNNCNKNKKN,,2NCNNC②全局耦合网络全局耦合网络对应的外耦合矩阵的最小特征值和第二大特征值均为。因此，由前面关于类型Ⅰ网络的描述可知，只要，该网络就可以到达同步。③星形耦合网络星形耦合网路对应的外耦合矩阵的最小特征值和第二大特征值之比为。因此，当网络规模时，此比值也趋于无穷，该网络无法达到同步。N211NN由以上分析，对连续时间耗散耦合的类型网络Ⅱ动态网络(1)，可以得到以下结论：(1)对给定的耦合强度，不管它有多大，当网络规模充分大时，最近邻耦合网络和星形网络都无法达到同步。(2)全局耦合网络的同步化能力与网络规模无关，只要，全局耦合网络就可以达到同步。c2112.小世界网络的完全同步只针对类型Ⅰ网络讨论。考虑具有NW小世界拓扑结构的连续时间耦合动态网络系统式(1)的同步化能力。NW小世界网络的生成规则：①初始：最近邻耦合网络②随机化加边：以概率在随机选取的一对节点之间加上一条边即：这种以概率加边过程就相当于在最近邻耦合矩阵中的0元素，以概率置换为1，因此将最近邻耦合矩阵中的的元素，以概率置换为重新计算其对角线元素，这样得到NW小世界网络的耦合矩阵，记为：令是对应的第二大特征根NCA1ijjiaa,nwApN,2(,)nwpNpppp0ijjiaa左图分别给出和的情形下,具有不同加边概率的NW小世界网络模型对应的第二大特征根。①对于最近邻网络(),近似为0，此时网络的同步化能力很低。②在此基础上不断地随机加边（概率从0变化到1）,不断变小最后趋于，同步化能力不断加强。结论1：对于任意给定的耦合强度,当有足够多的节点个数，只要概率大于一定的阈值，该网络就会达到同步。22N=200N=500200N500Np,2(,)nwpN0p,2(,)nwpNp,2(,)nwpNN0cNdcp左图分别给出和的情形下,具有不同规模的NW小世界网络模型对应的第二大特征根。①对于规模较小最近邻网络,近似为0，此时网络的同步化能力很低。②在此基础上不断地增加规模，不断变小，同步化能力不断加强。结论2：在加边概率相同的情况下，规模越大的NW小世界网络的同步化能力越强。22p=0.05p=0.10.05p0.1p,2(,)nwpN,2(,)nwpN,2(,)nwpN3.无标度网络的完全同步1）无标度网络的完全同步考虑BA无标度拓扑的连续时间耦合动态网络式(1)的同步化能力。这里同样只讨论类型Ⅰ网络。BA无标度网络的生成