简单的三角恒等变换(一轮复习总结)

[备考方向要明了]1.以选择题或填空题的形式单独考查，如2012年江苏T11.2.在解答题中，与三角函数的图象与性质、解三角形等综合，突出考查三角恒等变换的工具性作用，如2012年安徽T16等．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).怎么考考什么[归纳·知识整合](1)用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2.sin2α2＝；cos2α2＝；tan2α2＝.1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα±1－cosα2(2)用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.sinα2＝；1．半角公式cosα2＝；tanα2＝.±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα(3)用sinα，cosα表示tanα2.tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.[探究]如何用tanα表示sin2α与cos2α？提示：sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1；cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α.2．形如asinx＋bcosx的化简asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)化简2＋cos2－sin21的结果是()答案：C解析：2＋cos2－sin21＝1＋cos2＋1－sin21＝2cos21＋cos21＝3cos1.A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos12.sin235°－12sin20°的值为()答案：B解析：sin235°－12sin20°＝2sin235°－12sin20°＝－cos70°2sin20°＝－sin20°2sin20°＝－12.A.12B．－12C．－1D．1解析：∵f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx＝2sinxcosx＝4sin2x，∴fπ12＝4sinπ6＝8.答案：B3．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为()A．－433B．8C．43D．－43解析：y＝3cos4x＋sin4x＝232cos4x＋12sin4x＝2cosπ6cos4x＋sinπ6sin4x＝2cos4x－π6，故T＝2π4＝π2.4．(教材习题改编)函数y＝3cos4x＋sin4x的最小正周期为________．答案：π2解析：∵cosα＝－45，且α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴1＋tanα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2cosα2－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα25．若cosα＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________.答案：－12＝cosα2＋sinα22cosα2－sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sinαcos2α2－sin2α2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12.三角函数式的化简[例1](1)化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________；(2)已知0＜x＜π2，化简：lgcosx·tanx＋1－2sin2x2＋lg2cosx－π4－lg(1＋sin2x)．[自主解答](1)原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22·cosα.[答案](1)22cosα(2)原式＝lg(sinx＋cosx)＋lg(sinx＋cosx)－lg(1＋sin2x)＝lgsinx＋cosx21＋sin2x＝lg1＋sin2x1＋sin2x＝lg1＝0.———————————————————————————————————————————1.三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.2.三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值；(2)尽量使三角函数种数最少；(3)尽量使项数最少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数.3.三角函数化简的方法化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.1．化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.解：原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cosαsinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝2cosαsinα＋2cosαsinα·sinαcosα·sinα2cosα2＝2cosαsinα＋2sinα2cosα2＝2cosαsinα＋4sin2α2sinα＝2cosα＋4sin2α2sinα＝21－2sin2α2＋4sin2α2sinα＝2sinα.三角函数求值[例2]已知3π4απ，tanα＋1tanα＝－103.(1)求tanα的值；(2)求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π4的值．[自主解答](1)∵tanα＋1tanα＝－103，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－13或tanα＝－3.∵3π4απ，∴－1tanα0.∴tanα＝－13.(2)∵tanα＝－13，∴5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π4＝5sin2α2＋cos2α2＋4sinα＋6·1＋cosα2－8sinα－cosα＝5＋4sinα＋3＋3cosα－8sinα－cosα＝4sinα＋3cosαsinα－cosα＝4tanα＋3tanα－1＝－54.保持本例条件不变，求1－cos2α－sin2α1＋cos2α－sin2α的值．解：1－cos2α－sin2α1＋cos2α－sin2α＝2sin2α－2sinαcosα2cos2α－2sinαcosα＝2sinαsinα－cosα2cosαcosα－sinα＝－tanα＝13.—————————————————————————————————————————已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．(1)先化简所求式子；2．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈π2，π，β∈－π2，0，求sinα的值．解：∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜5π2，而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2＜β＜0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×－1213＝5665.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝9130.又α∈π2，π，∴sinα＝3130130.asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)的应用[例3](2013·西域模拟)已知函数f(x)＝3sin2x＋sinxcosx，x∈π2，π.(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值．[自主解答](1)令f(x)＝0，得sinx·(3sinx＋cosx)＝0，所以sinx＝0或tanx＝－33.由sinx＝0，x∈π2，π，得x＝π；由tanx＝－33，x∈π2，π，得x＝5π6.综上，函数f(x)的零点为5π6或π.(2)f(x)＝32(1－cos2x)＋12sin2x＝sin2x－π3＋32.因为x∈π2，π，所以2x－π3∈2π3，5π3.所以当2x－π3＝2π3，即x＝π2时，f(x)的最大值为3；当2x－π3＝3π2，即x＝11π12时，f(x)的最小值为－1＋32.———————————————————————————————————————————(1)利用asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．(2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的．当φ为特殊角即|ab|的值为1或333时要熟练掌握．对φ是非特殊角时，只要求会求最值即可．公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)的应用及注意事项解：f(x)＝sin2x＋3(1－2sin2x)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.3．(2013·银川模拟)已知函数f(x)＝sin2x－23sin2x＋3＋1.(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x∈－π6，π6时，求f(x)的值域．(1)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.由正弦函数的性质知，当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数y＝sin2x＋π3为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(2)∵x∈－π6，π6，∴2x＋π3∈0，2π3，∴sin2x＋π3∈[0,1]，∴f(x)＝2sin2x＋π3＋1∈[1,3]．∴f(x)的值域为[1,3]．1个公式——辅助角公式可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．y＝asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba有a2＋b2≥|y|.2个方向——三角恒等变换的基本方向三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的．变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．3个步骤——三角恒等变换的步骤三角恒等变换可以归纳为以下三步：创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题1．三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，有时也与向量等其他知识交汇命题．2．解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧．[典例](2012·安徽高考)设函数f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有gx＋π2＝g(x)，且当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．[解](1)f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x＝22cos2xcosπ4－sin2xsinπ4＋1－cos2x2＝12－12sin2x，故f(x)的最小正周期为π.(2)当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)＝12sin2x，故①当x∈－π2，0时，x＋π2∈0，π2.由于对任意x∈R，gx＋π2＝g(x)，从而g(x)＝gx＋π2＝12sin2x＋π2＝12sin(π＋2x)＝－12sin2x.②当x∈