复数复习与小结

《数系的扩充与复数的引入》复习课虚数的引入复数复数的表示复数的运算代数表示几何表示代数运算几何意义知识体系一、本章知识结构二、《标准》与《大纲》的比较（1）删去了复数的三角形式，以及三角形式的运算等内容。（2）突出了数系的扩充过程，复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义。（3）人教A版教材弱化了：①i的正整数次幂的周期性（隐含于本章复习参考题B组第2题中）②共轭复数的概念（在§3.2.2例3（1）中给出）③关于复数的模的几何意义（隐含于§3.1.2练习4中）④实系数一元二次方程求解（见习题3.2A组第6题）⑤删减的内容不必再补。那些弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解。三、学习目标1、在问题情境中了解熟悉的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及属于现实世界的联系.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3、了解复数的代数表示法及其几何意义.4、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的集合意义.四、重点和难点◆重点:复数的概念（代数形式、向量表示）以及代数形式的加、减、乘、除的运算法则，加减的几何意义.◆难点:复数相等的条件、向量表示，减法、除法的运算法则.复习过程数系的扩充复数的四则运算复数的几何意义现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.1.复数的概念：实部2.复数的代数形式：通常用字母z表示，即biaz),(RbRa虚部其中称为虚数单位。i00ba，非纯虚数00ba，纯虚数0b虚数0b实数)00(0ba，)00(0ba，实数非(,)zabiabR复数3.复数的分类：NZQRC4.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若dicbiadbca注：1)000abiab且2)一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小了.复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi一：复数的几何意义（一）结论：实轴上的点都表示实数；虚轴上点除原点外都表示纯虚数。复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ一一对应一一对应二：复数的几何意义（二）xyobaZ(a,b)z=a+bi我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量规定：相等的向量表示同一个复数OZxOz=a+biyZ(a,b)22ba对应平面向量的模||，即复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。OZOZ|z|=||OZ三：复数模的几何意义：向量OZ的模r叫做复数zabi的模,记作z或abi.复数的模其实是实数绝对值概念的推广？设Z1=a+bi，Z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。1、复数的加法法则：(a+c)+(b+d)i复数即实部与实部虚部与虚部分别相加(3)实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。),(2dcZ),(1baZZyxO设及分别与复数及复数对应，则,1OZ2OZabi+cdi+1(,)OZab=2(,)OZcd=∴向量就是与复数OZ()()acbdi+++对应的向量.探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？12(,)(,)(,)OZOZOZabcdacbd=+=+=++复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义思考？复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）－（c+di）请同学们推导复数的减法法则。深入探究事实上，由复数相等的定义，有：c+x=a，d+y=b由此，得x=a－c，y=b－d所以x+yi=(a－c)+(b－d)i即：（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－d)i点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减，即()()()()abicdiacbdi+-+=-+-2、复数的减法xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.复数减法运算的几何意义?|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？复数减法的几何意义：1221OZOZZZ-=结论：复数的差Z2－Z1与连接两个向量终点并指向被减数的向量对应.1.复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcadi（说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.i2(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1,z2,z3∈C,有,()(),().zzzzzzzzzzzzzzzzz12211231231231213()()abicdi2、定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.思考：设z=a+bi(a,b∈R),那么复数z=a+bi的共轭复数记作?zz,zzabi即?zzzzzzzzzz12121212,另外不难证明:2a2bizz22ab||||ZZZZ3.复数的除法法则先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即分母实数化dicbiadicbia)()())(())((dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd复数代数形式的除法实质：分母实数化①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.）②设,则有:i2321.01;;12__23事实上,与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.____③.11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii4、一些常用的计算结果问题1设复数z=lg(m2–2m–2)+(m2+3m+2)i，试求实数m取何值时。（1）z是纯虚数；（2）z是实数；1．复数的有关概念复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部。当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。背景知识问题2设x，y∈R，并且(2x–1)+xi=y–(3–y)i，求x，y。解题总结：复数相等的问题转化求方程组的解的问题一种重要的数学思想—转化思想变式练习•1.若方程+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.2x•2.已知不等式-(-3m)i•10+(-4m+3)i,试求实数m的值.2m2m2m误点警示：虚数不能比较大小！2.复数的代数运算•问题3复数等于（）•A.B.•C.D.45(22)(13)ii13i13i13i13i方法点拨—在掌握复数运算法则的基础上注意以下几点•1.的周期性ni•2.211(1)211iiiiiiii•3.3221,,101322i高考链接•1．(06年陕西卷)复数等于•A.1－iB.1+i•C.－1+iD.－1－i2(1)1ii•2.(05年重庆卷)••A．B．C．D．20051()1iiii2005220052•问题4设z为虚数，且满足求|z|。9zRz•解法1设z=a+bi(a,b∈R且•b≠0)，99zzabiabi229()abiabiab9zR,z222299()()ababiabab2290bbabb0,又2290ab229ab即|z|3•解法29zRz99zzzz99zzzz()(9)0zzzzzz2||9z||3z解题总结•解法1入手容易、思路清楚，是我们处理这类问题的常规方法，必须熟练掌握。•解法2着眼于整体处理，巧用共轭复数的性质，对解题方法技巧有较高的要求。方法与技巧—共轭复数的性质1212,zzzz1212,zzzz1122();zzzz;zRzz0;zz0z时，z是纯虚数22|||.|zzzz问题5已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。020622mmmm解：由1223mmm或得(3,2)(1,2)m3、复数的几何意义复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）复平面一一对应yxobaZ(a,b)z=a+bi复数的一个几何意义背景知识•复数z=a+bi•点Z(a,b）向量OZ复数的另一几何表示CxyB0A问题6如图，已知复平面内一个平行四边形的三个顶点O,A,B对应的复数分别是0,5+2i,-3+i，求第四个顶点C对应的复数.OCOAOB解法1—向量法解法2—几何法平行四边形对角线互相平分知识拓展xyoZ2Z1Z121212zzzzzz2222121212||2()zzzzzz不等相等•如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（）•A.1B.C.2D.25问题7xyo思想方法—数形结合方法与技巧•掌握一些常见曲线的复数方程，充分运用复数的几何意义解题，就可以快速准确的解答有关问题。0(1)zzr12(2)zzzz12(3)2zzzza12(4)||2zzzza回顾总结•1.两个复数相等的充要条件是实现把复数问题转化为实数问题的重要途径，也是我们解决有关的方程、不等式问题的重要依据。•2.在熟练进行复数运算的同时，掌握一些运算技巧方法，以求快速准确地解答问题。•3.复数的几何表示建立了复数与平面图形、复数与向量沟通的桥梁，由此我们可以方便地进行数形转换，寻找更为直观、方便的解题方法与途径。作业•1.已知z是复数，z+2i、均为实•数，且复数(z+ai)z在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.2zi•2．已知复数z满足，的虚部为2，•（1）求z；•（2）设，，在复平面对应的点分别为A，B，C，求的面积.||2z2zz2z2zzABC