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厚德载学慎思笃行第1页浙江大学丹青学业指导中心2013学年秋学期资料白皮书科目：大物物理二（期中版）出版单位：丹青学业指导中心出版时间：2013年11月厚德载学慎思笃行第2页浙江大学丹青学业指导中心2013学年秋学期第九章真空中的静电场1.高斯定理通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有点亮的代数和除以ε0.Φ𝑒=∮𝑬·𝑑𝑺=∑𝑞𝑖𝑖ε0应用:(1)球对称性带电体(均匀带电球体、球面)作同球心的高斯球面:∮𝑬·𝑑𝑺=4π𝑟2·E=∑𝑄内ε0(2)轴对称性带电体(“无限长”均匀带电直导线,圆柱体,圆柱面)作同轴小封闭圆柱面:∮𝑬·𝑑𝑺=2πrl·E=∑𝑄内ε0(3)面对称性带电体(“无限大”均匀带电平面、平板)作垂直平面小封闭圆柱面:∮𝑬·𝑑𝑺=2△S·E=∑𝑄内ε02.静电场的环路定理(1)当试验电荷𝑞0在任何静电场中移动时,电场力所做的功仅与试验电荷电量的大小以及移动路径的起点和终点位置有关,而与路径无关以点电荷为例:A=∫𝑞𝑞04𝜋ε0𝑟2·𝑑𝒓=𝑞𝑞04𝜋ε0𝑟𝐵𝑟𝐴(1𝑟𝐴−1𝑟𝐵)(2)静电场环路定理:在静电场中,电场强度沿任意闭合回路的积分为零.∮𝑬·𝑑𝒍=03.电势(1)当场源电荷分布在空间有限区域内时,通常选取离开场源电荷无限远处试验电荷的电势为零,即𝑤∞=0.这样,试验电荷在电场中任一点p的电势能𝑤𝑝=𝐴𝑝∞=∫𝑞0·∞𝑝𝑬·𝑑𝒍将比值𝑤𝑝𝑞0定义为电场中p点的电势,用𝑈𝑝表示:𝑈𝑝=𝑤𝑝𝑞0=∫𝑬∞𝑝·𝑑𝒍电场中任意两点a,b的电势之差,称为电势差或电压𝑈𝑎𝑏=𝑈𝑎−𝑈𝑏=∫𝑬𝑏𝑎·𝑑𝒍电场力所做的功𝐴𝑎𝑏=𝑞0∫𝑬𝑏𝑎·𝑑𝒍=𝑞0(𝑈𝑎−𝑈𝑏)(2)电势零点的选取:实际工作中,通常选取地面的电势为零;对于”无限大”或”无限长”的带电体,只能在有限的范围内选取某点为电势的零点.(3)电势叠加原理:𝑈𝑝=𝑈𝑝1+𝑈𝑝2+···+𝑈𝑝𝑛(4)计算电势Ⅰ.定义法:𝑈𝐴=∫𝑬𝐵𝐴·𝑑𝒍+𝑈𝐵Ⅱ.叠加原理:U=∫𝑑𝑞4𝜋ε0𝑟(把带电体分成无限多份dq)4.电场强度与电势的的关系(1)等势面:电势值相等的点连城的曲面厚德载学慎思笃行第3页浙江大学丹青学业指导中心2013学年秋学期等势面的性质:Ⅰ.等势面与电场线处处正交Ⅱ.等势面密集的地方场强大,稀疏的地方场强小(2)电场中某点场强在任一方向上的分量等于电势在此方向上变化率的负值.负号表示场强方向指向电势降低的方向(3)电势梯度:gradU=▽U=𝑑𝑢𝑑𝑛𝒆𝒏E=﹣𝑑𝑢𝑑𝑛𝒆𝒏=﹣▽U=﹣gradUE=﹣(∂u∂xi+∂u∂yj+∂u∂z𝒌)【例题】如图所示，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为σ。今有一质量为m、带电量为−q的粒子（q0）沿圆板轴线（x轴）方向向圆板运动，已知在距圆心o为b的位置上时，粒子的速度为v0，求：（1）带电圆板在轴线上的电势分布；（2）粒子击中圆板时的速度（设圆板带电均匀性始终不变）。解:（1）=σ·2()=∫σ·24𝜋ε0√2𝑟20=σ2ε0∫√2𝑟20=σ2ε0(√2+2−)(2)1202+[−𝑞𝑈()]=122+[−𝑞𝑈()]=√02+𝑞σε0(+−√2+2)2.两个同心球面均匀带电，半径分别为R1＝0.05m，R2＝0.2m，已知内球面电势为U1＝60V，外球面电势为U2＝－30V求（1）内外球面所带的电荷；（2）两球面间何处电势为零。厚德载学慎思笃行第4页浙江大学丹青学业指导中心2013学年秋学期解：1）由高斯定理易得，内球面电势：𝑈1=∫𝑬∞1·𝑑𝒍=∫𝑬𝟐21·𝑑𝒓+∫𝑬𝟑∞2·𝑑𝒓=∫𝑞14𝜋ε0𝑟221·𝑑𝒓+∫𝑞1𝑞24𝜋ε0𝑟2∞2·𝑑𝒓=14𝜋ε0(𝑞11+𝑞22)=60V外球面电势:𝑈1=∫𝑬∞1·𝑑𝒍=∫𝑬𝟑∞2·𝑑𝒓=∫𝑞1𝑞24𝜋ε0𝑟2∞2·𝑑𝒓=𝑞1𝑞24𝜋ε02=-30V∴𝑞1=6.7×1−10C,𝑞2=-1.3×1−9C(2)两球面间任一点电势,由电势定义𝑈𝑟=∫𝑬∞𝑟·𝑑𝒍=∫𝑬𝟐2𝑟·𝑑𝒓+∫𝑬𝟑∞2·𝑑𝒓=𝑞14𝜋ε0𝑟-𝑞14𝜋ε02+𝑞1𝑞24𝜋ε02=𝑞14𝜋ε0𝑟+𝑞24𝜋ε02=0∴=−𝑞1𝑞22=.1m第十章静电场中的导体和电介质1.静电场中的金属导体静电平衡下的导体的性质a导体内部场强处处为零；b.导体表面邻近处的场强必定和导体表面垂直；c.导体是个等势体，导体表面是个等势面；d.电荷分布在导体外表面上；e.导体表面附近的场强与该处导体表面的电荷面密度成正比，即E=𝜎𝑒ε0;f.孤立导体表面曲率越大的地方，面电荷密度越大。【例题】：1、导体A含有两个空腔，在腔中心分别有qb、qc，导体本身不带电。在距A中心r远处有另一电荷qd,。问qb、qc、qd各受多大力？解：两空腔内的电场都不受外界影响；内表面感应电厚德载学慎思笃行第5页浙江大学丹青学业指导中心2013学年秋学期荷均匀分布，因此，腔中心场强为零，qb、qc受力为零。根据电荷守恒，导体外表面感应电量𝑞𝑏+𝑞𝑐且电荷均匀分布，因此，导体外场强分布类似于点电荷的场，电荷qd,受力为(𝑞𝑏𝑞𝑐)𝑞𝑑4𝜋ε0𝑟2。2、一块面积为S的金属大薄平板A，带电量为Q，在其附近平行放置另一块不带电的金属大薄平板B，两板间距远小于板的线度。求两板表面的电荷面密度，以及周围空间的场强发布。解：∵EA=0，𝜎1ε0−𝜎22ε0−𝜎32ε0−𝜎42ε0=EB=0，𝜎12ε0+𝜎22ε0+𝜎32ε0−𝜎42ε0=𝜎1+𝜎2=𝑄𝑆𝜎3+𝜎4=∴𝜎1=𝜎2=𝜎4=𝑄2𝑆𝜎3=−𝑄2𝑆∴𝐸1=𝐸2=𝐸3=12ε0𝑄𝑆2电容电容器(1)孤立导体的电容：C=𝑄𝑈𝐴−𝑈𝐵电容器的电容：C=𝑄𝑈𝐴−𝑈𝐵1）三种基本电容器电容的计算：a．平行板电容器：C=ε0𝑆𝑑b．圆柱形电容器：C=2ε0𝑙𝐼𝑛𝑅𝐵𝑅𝐴厚德载学慎思笃行第6页浙江大学丹青学业指导中心2013学年秋学期c．球形电容器：C=4ε0𝐴𝐵𝐵−𝐴4）电容器的串并联：串联：1𝐶=1𝐶1+1𝐶1+···+1𝐶𝑛并联：C=𝐶1+𝐶2+···+𝐶𝑛【例题】1、两个半径各为a,b的金属球，用细导线相连，它们之间的距离比它们自身的线度大得多。今给此系统带上电荷Q，求（1）每个球上的电荷；（2）此系统的电容。解：(1)分析：因为它们之间的距离比它们自身线度大得多，所以每个球近似看成独立。{𝑼𝒂=𝑸𝒂4ε0𝑎𝑼𝒃=𝑸𝒃4πε0𝑏𝑼𝒂=𝑼𝒃𝑸𝒂+𝑸𝒃=𝑸𝑸𝒂=𝒂𝒂𝒃𝑸,𝑸𝒃=𝒃𝒂𝒃𝑸(2)C=𝑸𝑼=𝑸𝑼𝒂=4ε0(𝑎+)3静电场中的电介质极化强度：𝐏=lim△𝑉→0∑𝒑𝒊𝑖△𝑉极化强度与极化面电荷的关系：𝜎′=|𝑃|𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑃𝑛=𝑷·𝒏各向同性线性电介质：𝑷=χεε0𝑬，其中χε=ε𝑟−1为介质的电极化率【例题】求均匀极化的电介质球在球心产生的场强，设极化强度为P。解：E′=14ε0𝜎𝑒′𝑑𝑆2球坐标中：S=2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜓又：𝜎𝑒′=𝑃𝑐𝑜𝑠𝜃厚德载学慎思笃行第7页浙江大学丹青学业指导中心2013学年秋学期则：E′=P4ε0𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜓依对称性,场强应与z反向：E′=∯𝑑𝐸𝑍′=∯cos(𝜋−𝜃)𝑑𝐸=−P4ε0∫𝑐𝑜𝑠2𝜋0𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃∫𝑑𝜓=2𝜋0-𝑃3ε04电介质中静电场的基本定理电位移矢量：𝐷⃑⃑=ε0𝐸⃑+𝑃⃑介质中的高斯定理：∮𝐷⃑⃑⃑·𝑑𝑆⃑⃑=∑𝑞𝑆介质方程：𝐷⃑⃑=ε𝑟ε0𝐸⃑=ε𝐸⃑【例题】1、平行板电容器两极板面积为S，间距为d，内部充満介电常数为ε的电介质。设电容器q的电荷。求电介质中的电场强度、介质表面的极化电荷面密度和电容器的电容。解：作一个柱形高斯面，使它的上、下底面与极板平行，侧面与极板垂直，应用高斯定理可得：∮𝐷⃑⃑·𝑑𝑆𝑆=𝐷△𝑆=𝜎0△𝑆𝐷=𝜎0=𝑞𝑆𝐸=𝐷ε=𝑞εS𝑃=ε0(ε𝑟−1)𝐸=(ε−ε0)𝐸=(ε−ε0)𝑞εS𝐷=𝜎′=𝑃=(ε−ε0)𝑞εS𝐶=q𝑈=q𝐸𝑑=q𝑞εS𝑑=𝜀𝑆𝑑厚德载学慎思笃行第8页浙江大学丹青学业指导中心2013学年秋学期2、半径分别为R1和R2的同心导体球壳电容器，中间充満相对介电常数为εr1和εr2的两层均匀电介质，它们的分界面为一半径为R的球面。设电容器充电后，内外两球壳分别带有q的电量。求电介质中的电场强度、两介质分界面的极化电荷面密度和电容器的电容。解:∵∮𝐷⃑⃑·𝑑𝑆𝑆=∑𝑞0D·4π𝑟2=𝑞∴E=𝐷ε={𝒒4ε0ε𝑟1𝑟2,1𝒓𝒒4ε0ε𝑟2𝑟2,𝑟2分界面上的极化强度:P=ε0(ε𝑟−1)𝐸={(ε𝑟1−1)𝒒4ε1𝑟2,1𝒓(ε𝑟1−1)𝒒4𝜋ε𝑟2𝑟2,𝑟2∴分界面上的极化电荷面密度:𝜎′=𝑃1-𝑃2=(𝟏ε𝑟2−𝟏ε𝑟1)𝒒4𝜋2两球壳的电势差：𝑈=∫E1+∫E2=∫𝒒4ε0ε𝑟1𝑟2𝑑𝑟1+∫𝒒4ε0ε𝑟2𝑟22=𝒒4ε0[𝟏ε𝑟1(𝟏1−𝟏𝑹)+𝟏ε𝑟2(𝟏𝑹−𝟏2)]∴𝐶=𝑞𝑈=4ε0ε𝑟1(𝟏𝑅1−𝟏𝑹)ε𝑟1ε𝑟2(𝟏𝑹−𝟏𝑅2)第十一章稳恒电流1、传导电流：由电子、离子或带电粒子在导体中有规则地运动形成的电流运流电流：电子、离子或带电体在空间作定向运动形成的电流2、电流强度：I=dq/dt,即单位时间通过导体内任一截面的电量电流密度矢量:j=dI/dS,其中dI与面元垂直；厚德载学慎思笃行第9页浙江大学丹青学业指导中心2013学年秋学期在导体内任取一面元，则有dI=j∙dScos𝜃=j·dS→I=∫𝑗·Scos𝜃=∫𝒋·𝐒𝑠𝑠3、电流场、电流线：电流线上任一点的切线方向与j的方向一致，疏密程度代表j的大小。4、漂移速度与电流密度的关系：𝐣=−ne𝒗𝒅5、稳恒电流：导体各点电流密度矢量或通过导体任一截面的电流强度不随时间变化的电流电流连续性方程：∮𝒋∙𝑑𝐒=−𝑑𝑞𝑑𝑡𝑠当电流趋于稳恒后有：∮𝒋∙𝑑𝐒=𝑠6、稳恒电场：对于稳恒电流，其电荷的分布不随时间变化，因而产生的电场也不随时间变化。7、欧姆定律：I=𝑈电阻公式：R=ρ𝑙𝑠ρ为电阻率，其倒数γ成为电导率欧姆定律的微分形式：𝐣=γ𝐄8、焦耳定律：Q=𝐼2𝑡微分形式：ω=ΔPΔV=γ𝐸2其中ω称为热功率密度9、电动势：在电源内，将单位正电荷从负极移到正极时非静电力所做的功，即ε=𝐴𝑘𝑞仿照静电场，定义电源内部的非静电性外场的场强为𝐸𝑘，则有𝐴𝑘=𝑞∫𝑬𝒌∙𝑑𝒍−ε=∫𝑬𝒌∙𝑑𝒍−10、电源的路端电压:在电源内部，有𝐣=γ（𝐸0+𝐸𝑘)𝑈−𝑈−=𝜀−𝐼𝑟(式中r为电源的内电阻)11、一段含源电路的欧姆定律：𝑈𝐵−𝑈𝐴=∑𝜀−∑𝐼式中∑𝜀为电路中各电源电动势的代数和，∑𝐼为电路中所有电阻上电压降落之和。12、电容器的充电与放电：充电时：ε−−IR=得到Rqt+𝑞𝐶−𝜀=(C为电容器电容)最后可以解得：I=qt=𝜀𝑒−𝑡𝐶⁄=𝐼0𝑒−𝑡/𝐶厚德载学慎思笃行第10页浙江大学丹青学业指导中