§1.3三角函数的诱导公式(2)

§1.3三角函数的诱导公式（二）1.识记诱导公式．2.理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．(重点）学习目标诱导公式四sin)sin(，cos)cos(，tan)tan(。诱导公式三sin)sin(，cos)cos(，tan)tan(。诱导公式二sin)sin(，cos)cos(，tan)tan(。诱导公式一sin)2sin(k，cos)2cos(k，tan)2tan(k。函数名不变，符号看象限。1、复习初中知识sin30cos60sincos(903)300即sin45cos45sincos(904)455即sin60cos30sincos(906060)即sincos(90)cossin(90)猜想归纳问题探究：异名三角函数诱导公式2、点P1（x，y）关于直线y=x对称的点P2的坐标如何？Oxyy=xP1(x，y)P2(y，x)P2(y，x)横、纵坐标互换思考1：若α为锐角，与α的三角函数值存在什么关系？cos)2(sinαabccos(-)=sin2-2提示:思考2：若α为一个任意给定的角，那么的终边与角的终边有什么关系？2提示:关于直线y=x对称Oα的终边xy2的终边-2探究(一)诱导公式五y=xP1(x，y)Oxy的终边2sin)2cos(cos)2sin(提示:思考3：设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），则角的终边与单位圆的交点为为．根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？22P,yx,yx2P公式五横、纵坐标互换y=xα的终边思考4：与有什么内在联系？22)2(2提示:思考5：根据相关诱导公式推导，分别等于什么？)2sin()2cos(sin)2cos(cos)2sin(公式六探究(二)诱导公式六)]2(cos[)2cos()]2(sin[)2sin(cos)2sin(sin)2cos(思考6：你能用简洁的语言概括一下公式五、六吗？它们的作用是什么？的正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.2简记为：函数名改变，符号看象限作用：是实现正弦函数与余弦函数的互相转化.已知sin25.7°＝m，则cos64.3°等于()A．mB．－mC．m2D.1－m2A即时训练例1.证明：（1）（2）3sin()cos2.3cos()sin.2证明:(1)3sin()sin[()]22sin()cos2.(2)3cos()cos[()]22cos()sin.23sin()cos23cos()sin2函数名改变，符号看象限。sin()sincos()costan()tansin(2)sincos(2)costan(2)tankkksin()sincos()costan()tansin()cos2cos()sin2sin()cos2cos()sin23sin()cos23cos()sin23sin()cos23cos()sin2sin()sincos()costan()tan奇变偶不变，符号看象限思考：诱导公式可统一为的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？)Zk(2k20设xy02223口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：符号；值的看作锐角时原三角函数一个把面加上的异名三角函数值，前为奇数时，等于）当符号；值的看作锐角时原三角函数一个把面加上的同名三角函数值，前为偶数时，等于）当）的三角函数值（kkZkk212232252525sincostan()634计算：＝．0变式训练1例2.已知，求的值.32)6(cos)32(sin解：2sin()sin[()]362sin[()]cos()2662cos().6351sin()25，已知则cos（）A．25B．15C．15D．25C变式训练211sin(2)cos()cos()cos()22.9cos()sin(3)sin()sin()2例3.化简：解：原式(sin)(cos)(sin)cos[5()]2(cos)sin()[sin()]sin[4()]22sincos[cos()]2(cos)sin[(sin)]sin()2sincosaa=-tan.=-a利用诱导公式一～六，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角三角函数奇变偶不变，符号看象限课堂总结诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.诱导公式的记忆方法记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限(1)奇变偶不变将π2视为一个基本单位，上述前四组公式实际上为α＋4k×π2，2×π2＋α，0×π2－α，2×π2－α，即分别是π2的4k倍，2倍、0倍、2倍再加减α，也就是π2的偶数倍，则通过诱导公式后，函数名称不变，如sin(π＋α)＝－sinα，左、右两边都是同名且为正弦，后四组诱导公式分别为π2的1倍、1倍、3倍、3倍，即是奇数倍，通过诱导公式后，函数名称要改变，正弦、余弦互变如sinπ2－α＝cosα，cosπ2＋α＝－sinα，正切、余切互变．(2)符号看象限首先强调一点，诱导公式中的α为任意角，即可为任意大小的正角、负角和零角，但在记忆诱导公式时，把α看成锐角对公式的记忆很有帮助，例如公式sin(π＋α)＝－sinα，由上述可知函数名不变，当把α看成锐角时，π＋α为第三象限角，第三象限角的正弦的符号为负，故等式右边sinα的前面为“－”，再如cos3π2＋α＝sinα，由上可知函数名改变，3π2＋α(把α看成锐角)为第四象限的角，其余弦的符号为正，所以sinα前面的符号为正号．2．利用诱导公式处理给值求值问题的方法与技巧(1)给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．(2)巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α，π6＋α；π3＋α，π6－α；π4＋α，π4－α等．常见的互补关系有π3＋θ，2π3－θ；π4＋θ，3π4－θ等．(3)对条件求值要先对已知条件和所求式子化简，有助于找到解题思路和提高解题的速度．(4)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题的关键在于：观察分析条件角与结论角，消除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的灵活运用．(5)利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数.1、利用诱导公式化简下列各式(1)sin(3π－α)＝________；(2)sin(5π2＋α)＝________；(3)cos(7π2＋α)＝________；(4)tan(α－11π)＝________.tanαsinαcosαsinα当堂检测2、已知cos10°＝a，则sin100°＝________.3.化简（1）cos()2sin(2)cos(2).5sin()2（2）cos2sincos2.52sin2（）（）（）2(1)sin(2)sincos4求证：tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tanα.分析：解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简推出右边．4求证：tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tanα.分析：解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简推出右边．当堂检测证明：左边＝tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝tan－α－sinαcosα－cosαsinα＝－tanαsinαcosαcosαsinα＝－tanα＝右边，∴原等式成立．1.三角形中的诱导公式由于A+B+C=π,所以A+B=π－C,所以所以sin(A+B)=sin(π－C)=sinC；cos(A+B)=cos(π－C)=－cosC；ABCCsinsin()cos2222ABCCcoscos()sin.2222－；－ABC.222－2.解读六组诱导公式(1)诱导公式一至诱导公式六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系.(2)这六组诱导公式可归纳为的三角函数值与α的三角函数值之间的关系.当k为偶数时得角α的同名三角函数值,当k为奇数时得角α的异名三角函数值.然后前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号.可简记为“奇变偶不变,符号看象限”.k(kZ)23、用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少.【拓展提升】证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同.P28练习题7自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差小组评价本节课表现较好的小组是_____________,尚需努力的小组是___________________.课后作业课堂评价