2020普通高等学校招生全国统一考试线上测试4月线上测试(四)数学(理科)试题(含解析)

·1·2020普通高等学校招生全国统一考试线上测试（四）数学（理科）全卷满分：150分考试用时：120分钟★祝考试顺利★第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数2()2fxxx，集合{|()0}Axfx≤,{|'()0}Bxfx≤，则AB（）A．[1,0]B．[1,2]C．[0,1]D．(,1][2,)2．设i是虚数单位，若复数1iz，则22||zzz（）A．1iB．1iC．1iD．1i3．命题“(0,1)x,lnxex”的否定是（）A．(0,1)x,lnxex≤B．0(0,1)x,00lnxexC．0(0,1)x,00lnxexD．0(0,1)x,00lnxex≤4．已知||3a,||2b，若()aab，则向量a+b在向量b方向的投影为（）A．12B．72C．12D．725．在ABC△中，“sinsinAB”是“tantanAB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件绝密★启用前·2·6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．1112B．6C．112D．2237．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为A．2493B．4893C．48183D．1441838．函数cos23sin2yxx([0,])2x的单调递增区间是（）A．[0,]6B．[0,]3C．[,]62D．[,]329．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220xyxyxy≤≤≥所表示的平面区域内存在点00(,)xy，使不等式0010xmy≤成立，则实数m的取值范围为（）A．5(,]2B．1(,]2C．[4,)D．(,4]10．已知函数12xfxex的零点为m，若存在实数n使230xaxa且1mn≤，则实数a的取值范围是（）A．[2,4]B．7[2,]3C．7[,3]3D．[2,3]11．已知双曲线2222:1xyEab(a＞0,b＞0)满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线24yx的焦点F重合；②双曲线E与过点(4,2)P的幂函数()fxx的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．312B．512C．32D．51·3·12．已知函数1()xfxxe，若对于任意的00,xe，函数20()ln()1gxxxaxfx在0,e内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．(1,]eB．2(,]eeeC．22(,]eeeeD．2(1,]ee第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．6(12)(1)xx的展开式中2x的系数为．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2pxq中，p为“隅”，q为“实”．即若ABC△的大斜、中斜、小斜分别为,,abc，则2222222142acbSac.已知点D是ABC△边AB上一点，8153,2,45,tan7ACBCACDBCD，则ABC△的面积为．15．过直线7ykx上一动点(,)Mxy向圆22:20Cxyy引两条切线,MAMB，切点为,AB，若[1,4]k，则四边形MACB的最小面积[3,7]S的概率为．16．三棱锥SABC中，点P是RtABC△斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA平面ABC，则三棱锥SABC的四个面都是直角三角形；②若4,4,4ACBCSC，SC平面ABC，则三棱锥SABC的外接球体积为323；③若3,4,3ACBCSC，S在平面ABC上的射影是ABC△内心，则三棱锥SABC的体积为2；④若3,4,3ACBCSA，SA平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60．其中正确命题的序号是．(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知等差数列na的前n项和为nS，且满足4618aa，11121S．（1）求数列na的通项公式；（2）设(3)2nnnba，数列nb的前n项和为nT，求nT．·4·18．（12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于90本，则称该学生为“书虫”．（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：22()()()()()nadbcKabcdacbd2()Pkk≥0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8145.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且60DAB，点F是BC的中点．（1）求证：BDEF；（2）求二面角EDFB的余弦值．·5·20．（12分）已知12,FF为椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，点3(1,)2P在椭圆上，且过点2F的直线l交椭圆于,AB两点，1AFB△的周长为8．（1）求椭圆E的方程；（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线22ypx(0)p的焦点为F的弦AB满足2||||||||AFBFAFBFp.”那么对于椭圆E，问否存在实数，使得2222||||||||AFBFAFBF成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数2()1xfxe.（1）求函数(2)fx在1x处的切线方程；（2）若不等式()()fxyfxymx≥对任意的[0,)x，[0,)y都成立，求实数m的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1321xtyt(t为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2cos()4.（1）写出直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设直线l与圆C相交于,AB两点，求AB．23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数()|2|fxx.（1）求不等式(2)(4)2fxfx的解集；（2）当0a时，不等式()()1faxafxa≥恒成立，求实数a的取值范围.1/3ACDCBBCBCBBC13．-414．5215．2316．3(,)2e17．解：（1）由题设及余弦定理得：2222cosBDBCCDBCCDC=1312cosC，①2222cosBDABDAABDAA54cosC．②由①②得cos12C，故60C.（2）由1()2CECDCB，得2221(2)4CECDCBCDCB．11(49223)42194所以192CE．18．解：（1）证明：PABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，PD平面ABC，则PDAB，又E为D在平面PAB内的正投影，DE面PAB，则DEAB，PDDED，AB平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则ABPG，又PAPB，G是AB的中点；（2）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PBPA，PBPC，又//EFPB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故23CDCG．由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以//DEPC，因此23PEPG，13DEPC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2DE，32PG，22PE．在等腰直角三角形EFP中，可得2EFPF．所以四面体PDEF的体积11142223323PEFVDES．19．解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得2259ca，又222abc，解得3a，2b，椭圆的方程为：22194xy，（Ⅱ）设点1(Px，1)y，2(Mx，2)y，21(0)xx．则1(Qx，1)y．BPM的面积是BPQ面积的2倍，||2||PMPQ，从而21112[()]xxxx，215xx，易知直线AB的方程为：236xy．2/3由236xyykx，可得26032xk．由224936xyykx，可得12694xk，2945(32)kk，2182580kk，解得89k或12k．由26032xk．可得23k，故12k20．证明：（1）证明：在ABD中，1AD，2AB，60BAD，由余弦定理可得3BD，仅而90ADB，即BDAD，又平面AED平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED平面ABCDAD，BD平面AED，BD平面BED，平面BED平面AED．（2）//EFAB，直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AHDE于点H，连接BH，又平面BED平面AEDED，由（1）知AH平面BED，直线AB与平面BED所成的角为ABH，在ADE，1AD，3DE，6AE，由余弦定理得2cos3ADE，5sin3ADE，53AHAD，在RtAHB中，5sin6AHABHAB，直线EF与平面BED所成角的正弦值5621．解：（1）A是点(2pF，0)关于顶点O的对称点，可得(2pA，0)，设过A的直线为()2pykx，tank，联立抛物线方程可得22222(2)04kpkxkppx，由直线和抛物线相切可得△2242(2)0kppkp，解得1k，可取1k，可得切线的倾斜角为45，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cosPAPF，而的最小值为45，||||PAPF的最大值为2；（2）由24yx，可得(1,0)F，设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，3(Cx，3)y，4(Dx，4)y，(,)Gxy，设1:(1)lykx，联立抛物线24yx，可得2222(24)0kxkxk，即有12242xxk，12124()2yykxxkk，由两直线垂直的条件，可将k换为1k，可得23424xxk，344yyk，3/3点G满足4FGFAFBFCFD，可得4(x，1234)(4yxxxx，12