第三章 半导体中载流子的统计分布

第三章热平衡态半导体中载流子的统计分布电子科技大学微固学院2020年4月计算本征半导体(intrinsicsemiconductor)和杂质半导体(extrinsicsemiconductor)的热平衡状态时载流子浓度及费米能级位置，讨论载流子浓度、费米能级与杂质浓度、温度的关系0n0pFEANDN导带价带T1.载流子分布2.载流子影响因素主要内容§3.1热平衡状态§3.2状态密度§3.3热平衡态时电子在量子态上的分布几率§3.4热平衡时非简并半导体的载流子浓度§3.5本征半导体的费米能级和载流子浓度§3.6非简并杂质半导体的载流子浓度§3.7简并半导体(degeneratesemiconductor)§3.1热平衡状态在一定的温度T下，存在：载流子产生过程——本征激发——杂质激发载流子复合过程——电子从导带回到价带或杂质能级上一、热平衡状态EcEv产生复合ED0n0p载流子浓度保持稳定→热平衡状态无外来作用(光、电、磁等)载流子数目决定于：●允许电子存在的量子态按能量如何分布的？——状态密度g(E)=dZ/dE●电子是按什么规律分布在这些允许电子存在的量子态中？f(E)二、热平衡时载流子的浓度导带价带导带中单位能量间隔含有的状态数为gc(E)——导带的状态密度假设：能量为E的每个状态被电子占有的几率为f(E)在能量dE内的状态具有的电子数为：f(E)gc(E)dE那么：')()(ccEEcdEEgEfNVdEEgEfVNnccEEc')()(整个导带的电子数N为：式中Ec＇为导带顶的能量若晶体的体积为V，那么电子的浓度为：VdEEgEfpvvEEv')()(1空穴占据能量为E能级的几率为：1－f(E)空穴的浓度p为：式中Ev＇为价带底的能量gv(E)为价带中单位能量间隔含有的状态数——价带的状态密度§3.2状态密度状态密度(densityofstate,DOS)状态密度是能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数目能带中能量E+dE之间有dZ个量子态，则状态密度为：()dZgEdE=状态密度的计算k空间的状态密度——单位k空间体积内的量子态数单位能量间隔dE对应的k空间体积单位能量间隔dE对应的量子态数dZ，计算状态密度g(E)量子态在波矢空间的分布能量E～量子态Z的关系能量E～波矢k的关系xx+L一、理想晶体的k空间的量子态分布1.一维晶体设它由N个原子组成，晶格常数为a，晶体的长为L，起点在x处aL=a×N在x和x+L处，电子的波函数分别为φ(x)和φ(x+L)φ(x)=φ(x+L)LLk4,2,0)()(Lxuxu)(Lxikikxee1ikLe1coskL)()()(LxuexueLxikikx)2,1,0(2nnkLLnk2221LL单位k空间允许的状态数为：单位k空间体积内所含的允许状态数等于L/2π（L晶体的线度）-4π/L-2π/L02π/L4π/Lkkkkk2.三维晶体设晶体的边长为L，L=N×a，体积为V=L3(,,)xyzkkkkLnkLnkLnkzzyyxx2,2,2)2,1,0(nVLLL3)2(222K空间中的状态分布kx••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••kzky小立方的体积为：一个允许电子存在的状态在k空间所占的体积33881VV单位k空间允许的状态数为：—k空间的量子态（状态）密度考虑自旋后，k空间的电子态密度为：382V二、半导体导带底和价带顶的状态密度1.极值点k0=0，E(k)为球形等能面(1)导带底2222*()()2cxyznhEkEkkkm334kV2/12*)(2EckEmkn球所占的k空间的体积为：球形等能面的半径k球内所包含的量子态数Z(E)：Z(E)=×V382V微分：dkkVVdVdZ23348282dEEckEmVdZn2/12/32*2)()2(22/12*)(2EckEmkn代入：将2/12/32*2)()2(2)(EckEmVdEdZEgnc导带底附近单位能量间隔的量子态数—状态密度为：2/12/32*2)()2(2)(kEEvmVEgpV(2)价带顶价带顶附近单位能量间隔的量子态数—状态密度为：*2*2*222)(zzozyyoyxxoxcmkkmkkmkkEkE2/132/1***2/32)()(22)(czyxcEkEmmmVSdEdZEg2.实际半导体导带底附近的状态密度为：式中S为导带极小值的个数Si：S=6，Ge：S=4(1)导带底(极值点k0≠0)2/12/322)()2(2)(cdncEkEmVEg3/1***3/2)(zyxdnmmmSm令：称mdn导带底电子的状态密度有效质量2/12/32*2))(2(2EEmVvhp2/12/32*2))(2(2EEmVvlp2/132/3*2/3*2/32)()(22EEvmmVlphpvvhvlg(E)=g(E)+g(E)(2)价带顶(极值点k0＝0)2/12/322)2(2)(EEmVEgvdpv3/22/3*2/3*)()(lphpdpmmm令：称mdp为价带顶空穴的状态密度有效质量状态密度与能量E的抛物线关系EEc1Ev2gc(E)gv(E)导带底附近，电子能量越高，状态密度越大；价带顶附近，空穴能量越高，状态密度越大2/12/322)2(2)(EEmVEgvdpv2/12/322)2(2)(cdncEEmVEg例计算室温Si导带底到上面k0T范围内的状态数的体密度。dEEEhmVZTkEcEccdn02/12/32)2(4/2/12/32)2(4/)(cdncEEhmVEgEEc1Ev2gc(E)gv(E)2/12/322)2(2)(cdncEEmVEg2/302/32)()2(38Tkhmdn2/3232/323431)3001038.1())10626.6(101.908.12(314159.38319325/1012.2/1012.2cmmTkEEFeEf011)(§3.3热平衡态时电子在量子态上的分布几率一、费米分布函数和费米能级1.费米分布函数电子占据能量E能级的几率式中EF具有能量量纲，称为费米能级费米分布函数费米能级定义为：1938年诺贝尔物理学奖1933年诺贝尔物理学奖FermiDiracTFNFE热平衡系统有统一的费米能级2.f(E)的特点f(E)与温度T有关T=0KE＞EF：f(E)=0E＜EF：f(E)=1半导体EF位于禁带中TkEEFeEf011)(T=0K1/2T2T1f(E)T1T2EFE10费米能级标志电子占据量子态的水平T＞0KE＞EF：f(E)＜1/2E＜EF：f(E)＞1/2E=EF：f(E)=1/2T高E＞EF：f(E)↑E＜EF：f(E)↓11)(kTEEFeEfEF高E＞EF：f(E)↑E＜EF：f(E)↓费米能级越高，说明较多能量较高的量子态被电子占据温度升高，说明较多的电子会被激发到费米能级以上的量子态f(E)随能量增大迅速下降，说明越高能量量子态被电子占据几率小二、玻尔兹曼分布1.电子的玻尔兹曼分布当E－EFk0T时，1()()1FFEEkTBEEkTfEefEe玻尔兹曼分布函数Boltzmann10TkEEFeTkEEBFeEf0)(511()0.00669311FFDEEkTfEee5()0.006739BEfEe例如：E－EF=5k0T时，1/2f(E)EFE10fBE(E)fFD(E)1/2f(E)EFE10fBE(E)fFD(E)价带导带ECEVEg半导体中电子的统计分布满足Ec–EF＞＞k0T本征Si:(EF)本征≈Ei(禁带中心能级)禁带宽度Eg=1.12eVEc－EF=Ec－Ei=0.56eV在室温时，k0T=0.026eV0.56/0.026=21.6即没有被电子占有的几率：2.空穴的分布函数1111)(100TkEETkEEFFeeEf空穴的费米分布当EF－E＞＞k0T时，空穴的玻尔兹曼分布TkEETkEEFFeeEf0011)(11/2f(E)EFE101-fB(E)1-fF(E)价带导带ECEVEg半导体中空穴的统计分布满足EF–EV＞＞k0T非简并半导体——电子服从玻尔兹曼统计率，载流子非简并，满足E–EF＞＞k0T(导带)或EF–E＞＞k0T(价带)简并半导体——电子服从费米统计率，载流子简并3.非简并半导体与简并半导体§3.4热平衡时非简并半导体的载流子浓度n0和p0一、导带电子浓度n0和价带空穴浓度p01.电子浓度n0在能量E→E+dE间隔内的电子数dN为：dN=fB(E)gc(E)dEEcEc’EE+dEdEEEmVeNcdncEEcTkEEF2/12/322)2(20整个导带的电子数N为：引入：TkEExc0'02/102/102/3220)()(22xxTkEEdndxexeTkTkmVNFcTkEExcc0''其中TkEEdnFceTmkVN02/32022∴电子浓度no：利用积分公式：02/12dxexxxex2/1x5.04.003.02.01.012345TkEEdnFceTmkVNn02/320022/TkEEccoFeNn0令：——导带有效状态密度∴可理解为：把导带中所有量子态都集中于导带底，其状态密度为Nc，电子浓度则是有电子占据的量子态电子按Boltzman占据导带底Ec的几率2/32022dncTmkN2/32022dpVTmkNTkEEVvFeNp002.空穴浓度p0价带中的空穴浓度为：其中——价带的有效状态密度g(E)EFECEVg(E)f(E)10.5000f(E)n0f(E)gc(E)gv(E)1-f(E)p0ENcNvTkEEvFe0TkEEFce0载流子的统计分布TkEEcoFceNn0TkEEVovFeNp0二、影响no和po的因素2/32022dpVTmkN2/32022dncTmkNNc(cm-3)Nv(cm-3)Si2.8×10191.2×1019Ge1.04×10196.1×1018GaAs4.7×10177×1018室温时：1.mdn和mdp的影响—材料的影响2/32/3TNTNVC2.温度的影响(1)Nc、Nv～TT↑，NC、NV↑TkEETkEEVFFCee00(2)占据EC、EV的几率与T有关T↑，几率↑T↑，n0、p0↑3.EF的影响EF→EC，EC-EF↓，no↑—EF越高，电子的填充水平越高，对应n0较高；EF→EV，EF-EV↓，po↑—EF越低，电子的填充水平越低，对应p0较高。EF与杂质有关，决定于掺杂的类型和数量。TkEEFCe0TkEEVFe0EFEA不同掺杂情况下的费米能级（a）强p型（b）弱p型（c）本征情况（d）弱n型（e）强n型EvEiEcEFEAEvEiEcEvEFEcEvEiEcEDEFEvEiEcEDEF0cFFVgcVEEEEkTkTocVEEEkTkTcVcVnpNNeeNNeNNe三、载流子浓度积对于一定的半导体材料，热平衡态时载流子浓度积仅与温度有关，而与是否掺杂及掺杂浓度无关——热