初升高衔接数学讲义

1晨太阳初升高暑假衔接班讲义第一讲（上）因式分解（1）一．例题1．提取公因式法分解因式（写出过程）：（1）baba552=；（2）32933xxx=．2．公式法分解因式（写出过程）：（1）164a=；（2）2223yxyx=；（3）2616xx=．3．分组分解法分解因式（写出过程）：（1）22xyaxay=；（2）2(1)()xxyxyx=；(3)2(1)()xxyxyx=．二．练习题1．把下列各式分解因式（写出过程）：(1)34xyx=；(2)33nnxxy=；(3)2323()amnab=；2(4)2232(2)yxxy=．2．把下列各式分解因式（写出过程）：(1)233axayxyy=；(2)328421xxx=；(3)251526xxxyy=；(4)224202536aabb=；(5)22414xyxy=；(6)432224abababab=；(7)66321xyx=．3第一讲（下）因式分解（二）一．十字相乘法（1）2()xpqxpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq因此，2()()()xpqxpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．二．例题分析１．分解因式（写出过程）：（1）x2－3x＋2=；（2）x2＋4x－12=；（3）22()xabxyaby=；（4）1xyxy=．2．分解因式（写出过程）：(1)226xxyy=；(2)222()8()12xxxx=．（2）．一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()axcaxcaaxacacxcc．反过来，就得到：2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac4位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．3．分解因式（写出过程）：(1)21252xx=；(2)22568xxyy=．4．分解因式（写出过程）：（1）221xx=；（2）2244xxyy=．5．思考题：分解因式（写出过程）：（1）222456xxyyxy=；（2）3234xx=．三．练习题1．分解因式（写出过程）：(1)2627xx=；(2)2245mmnn=；(3)2()11()28abab=；（4）2221xx=．2．把下列各式分解因式（写出过程）：(1)5431016axaxax=；(2)2126nnnaabab=；(3)22(2)9xx=；(4)42718xx=；5(5)2673xx=；(6)2282615xxyy=；(7)27()5()2abab=；(8)22(67)25xx=6第二讲分式的化简一．分式的有关知识1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：AAMBBM；AAMBBM．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．二．例题分析1．若54(2)2xABxxxx，求常数,AB的值．2．（1）试证：111(1)1nnnn（其中n是正整数）；（2）计算：1111223910；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有11112334(1)2nn．3．化简11xxxxx．4．化简222396162279xxxxxxxx．5．当a=2时，求分式的值．76．若abc=1，求．7．已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求．三．练习题：1．12a，13b，则2223352aabaabb________．2．若2220xxyy，则22223xxyyxy____．3．已知==，且xyz≠0，求的值．4．计算：1111132435911．8第三讲分式方程一、填空题：1.请选择一组,ab的值，写出一个关于x的形如2abx的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.2.关于x的两个方程220xx与122xxa有一个解相同，则a的值为.3.若关于x的方程111mxxx=0有增根，则m的值是.4若方程322xmxx无解，则m＝_____________.5.解方程1222xxx的结果为_____________.6.解方程2522xxxx的结果为_____________.7．轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是千米/时．8．小红从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是.二、解答题：9.（1）解方程511233xxx（2）解方程：31112xxxx（3）解方程：23013xx10.某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平9均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？11.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？12.某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？10第四讲（上）含参数一元二次方程1一：填空题1．方程222330xkxk的根的情况是.2.若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是3．若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则1211xx＝．4.方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．5.以－3和1为根的一元二次方程是．6.已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）7.下列四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73；④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是8.关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是9.方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．10.方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．二．解答题1.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．2.已知方程2560xkx的一个根是2，求它的另一个根及k的值．3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：（1）|x1－x2|和122xx；（2）x13＋x23．4.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．11第四讲（下）含参数一元二次方程2重点：一元二次方程判别式的应用；根与系数的关系的应用一：填空题1.已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．2.方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．3.若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为4.若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．5.如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．6.若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝．7.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于8.若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则1221xxxx的值为9.如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为10.已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋4c＝0的根的情况是二解答题1.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．2.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13＋x23．3.已知关于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．4．若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．12第五讲不等式的性质知识要点：1.不等式的概念（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式.（2）不等号：常见的不等号有五种，“”、“”、“”、“”、“”.2.不等式的基本性质基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变.基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.基本性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.一.填空题：1.用不等式表示：a与b的积是非正数，a与2的差小于或等于5，a的3倍的相反数大于a的相反数.2.如果ab，那么7a7b，33a33b，72a72b.3.不等式31x的正整数解是.4.当x时，代数式25x的值不大于0，当x时，代数式25x的值等于0.5.若ab，且c为实数，则下面正确的是.①acbc②acbc③22acbc④22acbc6.若21x是不小于6的负数，则可表示为.7.不等式23(0)axxa解为.8.不等式3(2)2xa的解是负数，则a的范围是.9.满足不等式933xx的最大负整数解是.10.不等式5(3)23(23)xx的非负整数解的个数为个.二.解答题：1.比较4251xx与4351xx的大小.2.已知24a，25b，试确定ab及ab的取值范围.3.解不等式组：211312xxxx．4.2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展