2017届高三文科数学平面向量专题复习---Microsoft-Word-文档

12014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B）第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量.（2）向量的模：有向线段的长度，a.（3）单位向量：长度为1的向量.（4）零向量0，00，方向任意.（5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。（7）向量的加减法①共起点的向量的加法：平行四边形法则②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点.如:ABBCCDAD③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量④化减为加：ABACABCACAABCB（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e，2e是平面内两个不共线的向量，a为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,，使得1122aee，12,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算①设1122,,,axybxy，则11221212,,,abxyxyxxyy；1111,,axyxy，②,BABAABxxyy，22BABAABxxyy③,axy，则22axy3.平面向量的数量积①向量a与b的数量积：cosabab（为向量a与b的夹角，0,）；②若1122,,,axybxy，则1212abxxyy；③22aaaa；④a在b方向上的投影：cosa（为向量a与b的夹角）；⑤为锐角0ab，且a与b不同向；为钝角0ab，且a与b不反向；为直角0ab（为向量a与b的夹角）.4.向量的平行：①a∥bab（0b，唯一确定）；②a∥b1221xyxy5.向量的垂直:121200ababxxyy2第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.考点1：平面向量的有关概念例1．给出下列命题：①向量a与b平行，则a与b的方向相反或者相同；②ABC中，必有0ABBCCA③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是ABDC④若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a、b之一方向相同．其中正确的命题为________．②③变式训练：1.给出下列命题：①向量AB与向量BA的长度相等，方向相反；②0ABBA；③a与b平行，则a与b的方向相同或相反；④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；⑤AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线.其中不正确的个数是（）A.2B.3C.4D.52.已知下列命题：①若kR，且0kb，则00k或b；②若0,=00abab则或；③若不平行的两个非零向量ab，，满足=ab，则+-0abab；④若a与b平行，则aabb，其中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.33.给出下列命题：①若=ab，则=ab；②若,,,ABCD是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=,acbb，则ac；④a=b的充要条件是=ab且a∥b；⑤a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是（）A.②③B.①②C.③④D.④⑤考点2：平面向量的线性运算例2.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是______．①AB→=DC→②AD→＋AB→＝AC→③AB→－AD→＝BD→④AD→＋CB→＝0例3.在△OAB中，延长BA到C，使AC→＝BA→，在OB上取点D，使DB→＝13OB→.DC与OA交于E，设OA→＝a，OB→＝b，用a，b表示向量OC→，DC→.解因为A是BC的中点，所以OA→＝12(OB→＋OC→)，即OC→＝2OA→－OB→＝2a－b；DC→＝OC→－OD→＝OC→－23OB→＝2a－b－23b＝2a－53b.例4.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若2ADDB，1,3CDCACB则λ＝_______.3EFDCBA解析由图知CDCAACCDCBBD且AD→＋2BD→＝0.①＋②×2得3CD→＝CA→＋2CB→，∴CD→＝13CA→＋23CB→，∴λ＝23.变式训练：4.设P是△ABC所在平面内的一点，7.设P是△ABC所在平面内的一点，2BCBABP，则（）A.0PAPBB.0PCPAC.0PBPCD.0PAPBPC5.如图1，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．0ADBECFB．0BDCFDFC．0ADCECFD．0BDBEFC6.若OEF，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A．EFOFOEB．EFOFOEC．EFOFOED．EFOFOE7.已知ABC所在平面上有一点P满足PAPBPCAB,则P与ABC的位置关系是（）A．P是AC边上B．P在AB边上或其延长线上C．P在ABC的内部D．P在ABC的外部8.在ABC△中，ABc，ACb．若点D满足2BDDC，则AD=（）A．2133bcB．5233cbC．2133bcD．1233bc9.（2010湖北文理数）已知ABC和点M满足0MAMBMC.若存在实m使得ABACmAM成立，则m=（）A.2C.3C.4D.5考点3：平面向量的基本定理及坐标表示例5.已知2,4,3,1,3,4ABC且3CMCA，2CNCB，求点,MN及MN的坐标.解∵A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，).6,12(2),24,3()(3),3,6(),8,1(CBCNCACMCBCA设M（x，y），则有CM=（x+3，y+4），∴x＋3＝3y＋4＝24，∴x＝0y＝20，∴M点的坐标为(0,20)．同理可求得N点坐标为(9,2)，因此①②4MN=（9，-18），故所求点M、N的坐标分别为(0,20)、(9,2)，MN的坐标为(9，－18)．变式训练：10.【2012高考广东文理3】若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=()A．（-2,-4）B．(3,4)C．(6,10)D．(-6,-10)11.已知1,2,2,8AB，11,33ACABDABA,则C点的坐标为___________；D点的坐标为___________；CD点的坐标为___________.12.设向量,ab满足||25,(2,1),ab且ab与的方向相反，则a的坐标为．考点4：平面向量的平行与垂直问题例6.已知向量1,2,1,0,3,4abc.若为实数，ab∥c，则()A．14B．12C．1D．2例7.已知向量2411，，，a=b=．若向量()ba+b，则实数的值是．变式训练：13.已知3,2,1,0ab，向量ab与2ab垂直，则实数的值为（）（A）17（B）17（C）16（D）1614.已知向量(1,1),(2,),xab若a+b与4b2a平行，则实数x的值是（）A．-2B．0C．1D．215.在平面直角坐标系中，i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，O为坐标原点，设向量OA＝2i＋j，OB＝3i＋kj，若A，O，B三点不共线，且△AOB有一个内角为直角，则实数k的所有可能取值的个数是（）A．1B．2C．3D．416.设12,ee是两个不共线的向量，已知1228ABee,123CBee,122CDee（1）求证：A、B、D三点共线；（2）若123BFeke，且B、D、F三点共线,求k的值.17.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(OCtAB)·OC=0，求t的值。5考点5：平面向量的的数量积例8.在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝a，AB→＝c，AC→＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝______________________.21例9．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是________．π3.例10.已知||4a，||2b，且a与b夹角为120°求（1）(2)()abab；（2）|2|ab；（3）a与ab的夹角。例11.（2010湖南理数）在RtABC中，C=90°,4AC，则ABAC等于（）A、-16B、-8C、8D、16变式训练：18.若非零向量,ab满足ab，20abb，则a与b的夹角为（）A.300B.600C.1200D.150019.平面向量a与b的夹角为060，2,0a,1b，则2ab＝（）（A）3（B）23（C）4（D）1220.（2013年高考湖北卷（文理））已知点(1,1)A、(1,2)B、(2,1)C、(3,4)D,则向量AB在CD方向上的投影为（）A．322B．3152C．322D．315221.设非零向量a、b、c满足cbacba|,|||||，则ba,（）（A）150°（B）120°（C）60°（D）30°22.（2010天津文理数）如图，在ΔABC中，ADAB，3BCBD，1AD，则ACAD=（）（A）23（B）32（C）33（D）323.（2011江西文11）已知两个单位向量12,ee的夹角为3，若向量1122bee，21234bee，则12bb=___.（若12,bb的夹角为，则cos）24.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是▲．【答案】2。6【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由2ABAF，得cos2ABAFFAB，由矩形的性质，得cos=AFFABDF。∵2AB，∴22DF，∴1DF。∴21CF。记AEBF和之间的夹角为,AEBFBC，，则。又∵2BC，点E为BC的中点，∴1BE。∴=cos=cos=coscossinsinAEBFAEBFAEBFAEBF=coscossinsin=122212AEBFAEBFBEBCABCF。本题也可建立以,ABAD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。考点6：平面向量与其他知识的综合应用例12.（全国新课标理10）已知,ab均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题12:||1[0,)3pab22:||1(,]3pab13:||1[0,)3pab4:||1(,]3pab其中真命题是（）（A）14,pp（B）13,pp（C）23,pp（D）24,pp变式训练：25.（2009宁夏海南卷）已知O，N，P在ABC所在平面内，,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心26.设，ab是非零向量，若函数()()()fxxxabab的图象是一条直线，则必有（）A．⊥abB．∥abC．||||abD．||||ab727.（2013北京卷文14）已知点)1,2(),0,3(),1,1(CBA，若平面区域D由所有满足ACABAP（10,21）的点P组成，则D的面积为。328.已知△ABC顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(cCBA、、.（1）若5c，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围.29.已知向量3,1,1,ABACa，aR（Ⅰ）若D为BC的中点，