狄利克雷定理的证明

为证明定理本身，我先证明几个引理。引理1(Bessel不等式)：若函数()fx在[,]上可积，则有2222011()()2nnnaabfxdx证明：设201()(cossin)2mmnnnaSxanxbnx显然：222[()()]()2()()()mmmfxSxdxfxdxfxSxdxSxdx(*)其中，01()()()(()cos()sin)2mmnnnafxSxdxfxdxafxnxdxbfxnxdx由傅立叶级数系数公式可以知道：22201()()()2mmnnnfxSxdxaab2222220011()[(cossin)]()22mmmnnnnnnaSxdxanxbnxdxaab以上各式代入(*)式，可以得到：22222010[()()]()()2mmnnnfxSxdxfxdxaab另222201()()2mnnnaabfxdx这个结果对于mN均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据此可知“22201()2mnnnaab”这个级数的部分和有界，则引理1成立。引理2：若函数()fx是2T的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级数部分和()mSx可改写为：1sin()12()()2sin2mmuSxfxuduu证明：设201()(cossin)2mmnnnaSxanxbnx111()[(()cos)cos(()sin)sin]2mnfxdxfxnxdxnxfxnxdxnx111sin()111112()[cos()]()[cos]()222sin2xmmnnxmufunuxdufxtntdtfxuduu我在下边给出一个比楼主强的结论！收敛定理：设()fx是[,]ab的按段光滑函数,如果它满足:(1)在[,]ab只有有限个第一类间断点,在补充定义后它可积（应当指出：补充定义后，它已不是原来的函数）。(2)在[,]ab每一点都有(0)fx，且定义补充定义后的函数为1()fx有：10()(0)lim(0)ufxufxfxu，10()(0)lim(0)ufxufxfxu则()fx的傅立叶级数在点x收敛于这一点的算术平均值(0)(0)2fxfx，若在x连续，则收敛于()fx。为方便，我仅证明()fx是2T的在[,]上的按段光滑函数(上述命题在此基础上稍加变换即可)，则当[,]x时有(其中,nnab是傅立叶级数系数)01(0)(0)(cossin)22nnnafxfxanxbnx证明：由引理1容易可知：01lim()sin()02nfxnxdx(**)若(0)(0)lim[()]02mnfxfxSx成立，则命题得证，而1sin()(0)(0)(0)(0)12lim[()]lim[()]2222sin2mnnmufxfxfxfxSxfxuduu另外，1sin()1212sin2muduu，注意这个式子是偶函数，则011sin()sin()(0)(0)2222sin2sin22mumufxfxduduuu若01sin()12lim[(0)()]2sin2nmufxfxuduu=0，则命题得证。记(0)()2()sin2ufxfxuguuu有微积分知识10(0)()2lim()(0)sin2uufxfxugufxuu，若1(0)(0)gfx则它在0连续，由于第一类间断点只有有限个，则它在[0,]上可积。结合(**)式可知01sin()12lim[(0)()]02sin2nmufxfxuduu同理可以证明01sin()12lim[(0)()]02sin2nmufxfxuduu因此，命题得证。B.Q.这个证法是我念书时找一个懂日文的同学给翻译的，由于他不太喜欢数学，我又不懂日文，所以我的理解可能也非原文的理解，也不能给出参考文献(不懂日文啊)。水平有限，请高手见谅。