高中数学-人教A版选修2-2--数系的扩充和复数的概念

本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.13.1.1数系的扩充和复数的概念【学习要求】1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1填一填·知识要点、记下疑难点1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈______，i叫做__________．a叫做复数的______，b叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________．(2)复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母____表示．R虚数单位实部虚部zz＝a＋bi全体复数C本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1填一填·知识要点、记下疑难点2．复数的分类及包含关系(1)复数(a＋bi，a，b∈R)实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔__________.a＝c且b＝d本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效探究点一复数的概念问题1为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效问题2如何理解虚数单位i?答(1)i2＝－1.(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．(4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效问题3什么叫复数？怎样表示一个复数？答形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效问题4什么叫虚数？什么叫纯虚数？答对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效小结复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.13.1.1研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．解(1)存在且有无数个，如－2＋i等；(2)存在且不唯一，如1－2i等；(3)存在且唯一，即－2i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效例2当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)当m2－2m＝0m≠0，即m＝2时，复数z是实数；(2)当m2－2m≠0，m≠0即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；(3)当m2＋m－6m＝0m2－2m≠0，即m＝－3时，复数z是纯虚数．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效小结利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2实数m为何值时，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且mm＋2m－1有意义即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且mm＋2m－1有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足mm＋2m－1＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效探究点二两个复数相等问题1两个复数能否比较大小？答如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效问题2两个复数相等的充要条件是什么？答复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.13.1.1研一研·问题探究、课堂更高效例3已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.解由复数相等的充要条件得2x－1＝－y，1＝y－3.解得x＝－32，y＝4.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效小结两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知x2－x－6x＋1＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．解由复数相等的定义得x2－x－6x＋1＝0，x2－2x－3＝0.解得：x＝3，所以x＝3为所求.本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1练一练·当堂检测、目标达成落实处1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A．2，1B．2，5C．±2，5D．±2，1解析令a2＝2－2＋b＝3，得a＝±2，b＝5.C本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1练一练·当堂检测、目标达成落实处2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A．±1B．±iC．±2iD．±2iC本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.13.1.1练一练·当堂检测、目标达成落实处3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为()A．1B．0C．－1D．－1或1解析由题意知mm＋1＝0m2－1≠0，∴m＝0.B本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1练一练·当堂检测、目标达成落实处4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－ai(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中正确命题的个数为()A．3个B．4个C．5个D．6个解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．B本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1练一练·当堂检测、目标达成落实处1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．本课时栏目开关填一填研一研练一练3.1.1九九电影网九九电影网