高中数学16个二级结论

高中数学16个二级结论结论一奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.例1设函数22(1)sin()1xxfxx的最大值为M,最小值为m,则M+m=.跟踪集训1.(1)已知函数2()ln(193)1fxxx,则1(lg2)(lg)2ff=()A.-1B.0C.1D.2(2)对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一．定不可能是．．．．．()A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2结论二函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=1()fx(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2已知定义在R上的函数f(x)满足f3()2x=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015)=()[来源:Z§xx§k.Com]A.-2B.-1C.0D.1跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2log(1),0,(1)(2),0,xxfxfxx则f(2014)=()A.-1B.0C.1D.2结论三函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=2ab对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(,)22abc中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意的x∈1[,1]2恒成立,则实数a的取值范围是()A.[-3,-1]B.[-2,0]C.[-5,-1]D.[-2,1]跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.(2)函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.结论四反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0,f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象上.例4设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln2B.2(1-ln2)C.1+ln2D.2(1+ln2)[来源:学科网ZXXK]跟踪集训4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=()A.52B.3C.72D.4结论五两个对数、指数经典不等式1.对数形式:1-11x≤ln(x+1)≤x(x-1),当且仅当x=0时,等号成立.2.指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5设函数f(x)=1-e-x.证明:当x-1时,f(x)≥1xx.跟踪集训5.(1)已知函数f(x)=1ln(1)xx,则y=f(x)的图象大致为()(2)已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x2+x+1有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OPOAOB,且1.特别地,当P为线段AB的中点时,1122OPOAOB.例6已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式20xOAxOBBC成立的实数x的取值集合为()A.{-1}B.C.{0}D.{0,-1}跟踪集训6.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若ABAMAN,则.结论七三角形“四心”的向量形式设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔||||||2sinaOAOBOCA.(2)O为△ABC的重心⇔0OAOBOC.(3)O为△ABC的垂心⇔OAOBOBOCOCOA.(4)O为△ABC的内心⇔0aOAbOBcOC.例7已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足1[(1)(1)(12)],3OPOAOBOCR,则点P的轨迹一定经过()A.△ABC的内心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心D.AB边的中点跟踪集训7.(1)P是△ABC所在平面内一点,若PAPBPBPCPCPA,则P是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心(2)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,(0,)2OBOCOPAP,则P点的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心(3)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足(),[0,)||||ABACOPOAABAC,则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心结论八等差数列1.若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.2.若等差数列{an}的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,1mmSaSa奇偶.3.若等差数列{an}的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,1SmSm奇偶.例8(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-2ma=0,S2m-1=38,则m等于.跟踪集训8.(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=.(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=.结论九等比数列已知等比数列{an},其公比为q,前n项和为Sn.(1)数列1{}na也为等比数列,其公比为1q.(2)若q=1,则Sn=na1,且{an}同时为等差数列.(3)若q≠1,则Sn=11111(1)()11111nnnnaaqaqaaaqqqqqqq.(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n为奇数),其公比为qn.(5)Sn,2nnSS,32nnSS,…仍为等比数列,公比为2nq.例9(1)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列1{}na的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若63SS=3,则96SS=()A.2B.73C.83D.3跟踪集训9.在等比数列{an}中,公比为q,其前n项和为Sn.已知S5=3116,a3=14,则1234511111aaaaa.结论十多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d与共点三条棱长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱长为a的正四面体内切球半径r=612a,外接球半径R=64a.例10已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于()A.76B.43C.23D.2跟踪集训10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为()A.14B.23C.46D.3(2)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是()A.74B.2πC.94D.3π结论十一焦点三角形的面积公式1.在椭圆22221xyab(ab0),F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积122tan2PFFSb,其中θ=∠F1PF2.2.在双曲线22221xyab1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积122tan2PFFbS,其中θ=∠F1PF2.例11已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C.3D.2跟踪集训11.(1)如图,F1,F2是椭圆C1:2214xy与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62(2)已知F1,F2是椭圆C:22221xyab(ab0)的两个焦点,P为椭圆C一上点,且12PFPF.若△PF1F2的面积为9,则b=.结论十二圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.2.过椭圆22221xyab上一点P(x0,y0)的切线方程为00221xxyyab.3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0(2)设椭圆C:22143xy,点P3(1,)2,则椭圆C在点P处的切线方程为.结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆