高中数学4.1 圆的方程 课件1人教版必修2

一、内容归纳1.圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，其中圆心为，半径为.FED42122)2,2(ED(4)半圆方程：dxbxcybaxry222,(5)圆系方程：i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C2；(时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）1(6)圆的参数方程圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为sincosryrx为参数圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为sincosrbyrax为参数2.圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；二元二次方程表示圆的充要条件:A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF0。3.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2，那么点(x0,y0)在220202202022020rbyaxrbyaxrbyax圆外圆内圆上4.直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：(1)代数法（判别式法）相离相切相交000(2)几何法，圆心到直线的距离相离相切相交rdrdrd一般宜用几何法。5.弦长与切线方程，切线长的求法(1)弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则2222rld(2)圆的切线方程：若点在圆上，则过点P的切线方程为)(00yxP，222ryx200ryyxx若点在圆上，则过点P的切线方程为)(00yxP，222)()(rbyax200)()())((rbybyaxax若点在圆上，则过点P的切线方程为)(00yxP，022FEyDxyx0220000FyyExxDyyxx(3)切线长22020002020rbyaxFEyDxyxd过圆外一点引圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)或(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的切线,则切线长：),(00yxP6.圆与圆的位置关系相离2121rrOO外切2121rrOO内切2121rrOO内含2121rrOO二、学习方法指导例1当曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()241xy1250，A．4331，B．43125，C．D．，125圆心(0，1)到直线PC的距离等于半径2，即21421200kk241xy解析：曲线是以(0，1)为圆心2为半径的半圆，1250k431k∴，直线PA的斜率43125≤＜k所以实数k的范围为，故选C．直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2，4)的直线(如图所示)．4)2(0xky0k，切线PC的方程为设切线PC的斜率为例2求圆上的点到x－y＋2＝0的最近、最远距离。4)3()2(22yx思路分析：由于圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最近之距为圆心到直线的最近距离减去半径，将本题转化为圆心到直线距离的问题．解：由圆的方程4)3()2(22yx易知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2．∵(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为22272232＞∴圆上的点到直线的最远距离为2227，最近距离为2227例3过已知点(3，0)的直线l与圆03622yxyx相交于P、Q两点，且OP⊥OQ(其中O原点)，求直线l的方程．思路分析：OP⊥OQ，若设)(11yxP，)(22yxQ，，则12211xyxy，由P、Q均在圆及直线上，可借助方程求解．解：设直线l的方程为x＋ay－3＝0，则点)(11yxP，)(22yxQ，的坐标满足方程组，，0303622ayxyxyx消去y得0336322axxaxx∴191832221aaaxx①由方程组消去x，得036)3()3(22yayyay115221ayy②依题意知OP⊥OQ，∴12211xyxy，即02121xxyy由①②知011519183222aaaa，得0862aa解得a＝2或a＝4．所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0说明：本题巧用根与系数的关系，列出02121yyxx进而求得方程，另外，在设方程时，设过(3，0)的的直线方程x＋ay－3＝0可避免讨论。例4求过P(5，－3)，Q(0，6)两点，且圆心在直线2x－3y－6＝0上的圆的方程．思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式，但是要注意圆的有关几何性质的运用．解法1：设所求圆的方程为222)()(rbyax则，，，0632)6()0()3()5(222222barbarba解得a＝19，332b934452r故所求圆的方程为93445)332()19(22yx解法2：设所求圆的方程为022FEyDxyx则它的圆心是)22(ED，由已知条件可得，，，062322035925060360EDFEDFE解得D＝－38，364E，F＝92故所求圆的方程为0923643822yxyx解法3：∵PQ的中点为)2325(，A，且5950)3(6PQk设圆心为C，则95ACk∴直线AC的方程为259523xy，即5x－9y＋1＝0．解方程组，，06320195yxyx则圆心的坐标为)33219(，C圆的半径为934456332)019(22QC故所求圆的方程为93445)332()19(22yx说明：已知三个独立条件求圆方程，一般是用待定系数法，解法1是求出a、b、r，解法2是求出D、E、F，而解法3是应用“圆的弦的垂直平分线一定通过圆心”这一定理求得．例5求圆心在直线x－y－４＝0上，并且经过两圆和的交点的圆的方程．1C03422xyx：2C03422yyx：思路分析：求经过两圆交点的圆，可利用圆系方程求解．解：设所求圆的方程为)1(0)34(342222且Ryyxxyx即)1(03141422yxyx①∵圆心1212，在直线x－y－４＝0上．∴041212，得31，代入①得032622yxyx例6求经过A(4，－1)且与已知圆C：056222yxyx切于B(1，2)的圆的方程．思路分析：可以用直接法求解，所求圆的圆心在AB的垂直平分线上，也在BC上．便可以求出圆心坐标，再用两点间的距离求出半径，最后写出圆的方程．解：线段AB的垂直平分线方程为x－y－2＝0，已知圆056222yxyx的标准方程为5)3()1(22yx∴已知圆的圆心为C(－1，3)，则直线BC的方程为x＋2y－5＝0，解方程组.05202yxyx，　得.13yx，即所求圆的圆心为)13(，C，求得5CB则所求方程为5)1()3(22yx说明：本例还可以用圆系方程求解，B(1，2)可以看成点圆0)2()1(22yx，因此与已知圆056222yxyx切于B(1，2)的圆方程可设为0)562()2()1(2222yxyxyx将A(4，－1)代入可求λ．例5求两圆与1C0222xyx：2C0422yyx：的公共弦长．思路分析：可以先求出两圆交点坐标，利用两点间的距离求之；亦可利用几何法求．解法1：由已知两圆方程分别为0222xyx与0422yyx两圆的方程相减得－2x＋4y＝0，即x＝2y为公共弦所在直线方程．解方程组．，02222xyxyx得一个交点坐标为5458　，，另一坐标为(0，0)，∴弦长为554545822解法2：如图．设两圆的公共弦OA与连心线21CC交于点M，则OAMC1|OA|＝2|OM|．由⊙1C的方程，易得)01(1，C11OC，由两圆的方程，得OA的方程为x－2y＝0，从而55)2(1021221MC于是55451122222121MCOCOMOA说明：本例体现了求相交两圆的公共弦长的两种方法．