高中数学4.1平面向量的概念+及线性运算

§4.1平面向量的概念及线性运算a1.(1)ab,ab.(2)A,B,C,D,ABDCABCD.(3)ab,bc,c.(4)ababa//b.a(5)aa例给出下列命题：若则若是不共线的四点则是四边形为平行四边形的充要条件若则的充要条件是且非零向量的单位向量是其中正确的是考点一平面向量的概念(2)(3)(5)变式1．平面向量a,b共线的充要条件是()A．a,b方向相同B．a,b两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，使baD．存在不全为零的实数λ1，λ2，使12ab0D共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使ba..,,0,02121不共线则向量时当若baba变式2.(2012·浙江)设a,b是两个非零向量．()．A.若|ab||a||b|,则abB.若ab,则|ab||a||b|C．若|ab||a||b|，则存在实数λ，使得baD．若存在实数λ，使得ba，则|ab||a||b|Cbababa等式成立的条件是什么?考点二平面向量的线性运算(2)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.21D点评：关键找“回路”以及两个法则的应用例2(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF→等于()A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→-6-考点三共线定理的应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kabakb与共线．1k1,,且三共线OCOBOAACABCBAbaOM7371ODOAOMDMA)1(,,三点共线baOM)1(21OBOCOMBMC)1(,,三点共线baOM)1(411)1(214174,712.如图所示，在△ABO中，11OCOA,ODOB42，AD与BC相交于点M，设OA=a,OB=b.试用ab和表示向量OM.变式1.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．22121,,,//.,32,,,:2则若的动点上是直线的直线过点点的中是且的一点上为中在如图变式OCOBOPlPODlABCDOAOCOACABCACDBPOl23ABC1(2),ANNC,PBN,32APmABAC,m()119853A.B.C.D.11111111在中点是线段上一点若则实数的值为练习：D(1)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA4OB3OC0，则|AB||BC|等于()A．3B．4C．5D．6A练习3.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求GA→＋GB→＋GO→；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.(1)解∵GA→＋GB→＝2GM→，又2GM→＝－GO→，∴GA→＋GB→＋GO→＝－GO→＋GO→＝0.(2)证明显然OM→＝12(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以OG→＝23OM→＝13(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得PG→∥GQ→，所以，有且只有一个实数λ，使PG→＝λGQ→.而PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b，