2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第六章 数列第1节

1.理解等差、等比数列的概念；2.熟练掌握并理解等差、等比数列的通项公式及前项和公式；3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.✎知识点精讲一、基本概念n1.数列⑴定义按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.⑵数列与函数的关系从函数的角度来看，数列是特殊的函数.在中，当自变量时，所对应的函数值就是一组数列，通常记为，所以研究数列问题，有时会转化为研究函数问题.2.等差数列（1）定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，则这个数列就叫做等差数列，这个常数叫公差，常用字母表示，即()yfxxΝ(1),(2),(3),fffna2d1.nnaad（2）等差数列的通项若等差数列的首项是公差是，则等差数列的通项公式为或是关于的一次型函数.公差（直线的斜率）（）.⑶等差中项若，，成等差数列，那么叫与的等差中项.即或.在一个等差数列中，从第二项起（有穷等差数列的末项除外）每一项都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上，等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.⑷等差数列的前项和等差数列前项和是关于的二次型函数（二次项系数为且常数项为）.的图象在过原点的直线（）上或在过原点的抛物线上（）.na1ad11naand1nmaanmdndadnnmaadnmmnxAyAxy2xyA2Axynn12211122222nnaannndaddSnannanbnn2d0nS0d0d3.等比数列（1）定义一般地，如果有一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母表示，即.（2）等比数列的通项等比数列的通项，是不含常数项的指数型函数.（3）等比中项如果成等比数列，那么叫与的等比中项，即或.（4）等比数列的前项和（5）2q10nnaqqa1111(,0)nnnaaaqcqcaqq,,xGyGxyGyxG2Gxyn11111111nnnnaqSaqaaqqqqmnmnaqa✎题型归纳及思路提示题型73等差、等比数列的通项及基本量的求解【例6.1】记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差等于（）.A.B.C.D.【解析】由①，②可解得：.故选C.nannS244,20SSd7632212124Saaad①414620Sad②3d【例6.1变式2】已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差𝑑的取值范围是（）.A.−∞，−2B.−157，−2)C.−2，+∞D.−157，−2由已知得𝑑0，故排除C.【解析】由题意𝑎15≥1𝑎161，得𝑎1+14𝑑=31+14𝑑≥1𝑎1+15𝑑=31+15𝑑1，解得−157≤𝑑−2.故选B.【例6.3】（1）(2012广东理11)已知递增的等差数列𝑎𝑛满足𝑎1=1，𝑎3=𝑎22−4，则𝑎𝑛=.（2）(2012辽宁理14)已知等比数列𝑎𝑛为递增数列，且𝑎52=𝑎10，2𝑎𝑛+𝑎𝑛+2=5𝑎𝑛+1，则数列𝑎𝑛的通项公式𝑎𝑛=.(1)利用等差数列的通项公式求解.【解析】所以𝑑2=4，故𝑎𝑛=𝑎1+𝑛−1𝑑=2𝑛−1𝑛∈𝐍∗.设等差数列的公差为𝑑，则由𝑎3=𝑎22−4得，1+2𝑑=1+𝑑2−4，得𝑑=±2.又该数列为递增的等差数列，所以𝑑=2，(2)由数列𝑎𝑛为等比数列，所以𝑎𝑛=2𝑛𝑛∈𝐍∗.设其公比为𝑞，由2𝑎𝑛+𝑎𝑛+2=5𝑎𝑛+1，得2𝑎𝑛+𝑎𝑛𝑞2=5𝑎𝑛𝑞，即21+𝑞2=5𝑞，解得𝑞=12或2，又𝑎52=𝑎100，且数列𝑎𝑛为递增数列，则𝑞=2，因此𝑞5=𝑎5=32.【例6.3变式1】𝑆𝑛为等差数列𝑎𝑛的前𝑛项和，若𝑆2=𝑆6，𝑎4=1，则𝑎𝑛=.利用等差数列的性质及通项公式求解.【解析】所以𝑑=𝑎5−𝑎4=−2，则𝑎𝑛=𝑎4+𝑛−4×−2=9−2𝑛𝑛∈𝐍∗.因为等差数列𝑎𝑛中𝑆2=𝑆6，则𝑎3+𝑎4+𝑎5+𝑎6=0，即𝑎4+𝑎5=0，又𝑎4=1，得𝑎5=−1，【例6.5】在等比数列𝑎𝑛𝑛∈𝐍∗中，若𝑎1=1，𝑎4=18，则该数列的前10项和为（）.A.2−128B.2−129C.2−1210D.2−1211由𝑎4=𝑎1𝑞3=𝑞3=18【解析】所以𝑆10=1−12101−12=2−129,得𝑞=12，故选B.题型74等差、等比数列的求和【例6.5变式2】设𝑓𝑛=2+24+27+210+⋯+23𝑛+10𝑛∈𝐍∗，则𝑓𝑛等于（）.A.278𝑛−1B.278𝑛+1−1C.278𝑛+3−1D.278𝑛+4−1解法一：等比数列求和问题，由题意知数列首项、末项.【解析】利用公式𝑆𝑛=𝑎1−𝑎𝑛𝑞1−𝑞求解，所以𝑓𝑛=2−23𝑛+10∙81−8=278𝑛+4−1.计算出公比𝑞=23=8，故选D.解法二：利用𝑆𝑛=𝑎11−𝑞𝑛1−𝑞求解，需注意其项数.所以𝑓𝑛=21−8𝑛+41−8=278𝑛+4−1.其中指数1，4，7，10，⋯，3𝑛+10成等差数列，3𝑛+10=1+3𝑛+4−1，故一共有𝑛+4项.故选D.解法三：特值验证法.当𝑛=1时，𝑓𝑛=𝑓1=2+24+27+210+⋯+213=2−213∙231−23=2−216−7=216−27只有选项D符合.=2785−1=2781+4−1.【例6.6】设等比数列𝑎𝑛的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆3，𝑆9，𝑆6成等差数列，求数列的公比𝑞.若𝑞=1，【解析】则𝑆3=3𝑎1，𝑆6=6𝑎1，𝑆9=9𝑎1，因为𝑎1≠0，即有𝑎11−𝑞31−𝑞+𝑎11−𝑞61−𝑞=2𝑎11−𝑞91−𝑞，所以𝑞=−123=−432.由题意可得𝑆3+𝑆6=2𝑆9，整理得𝑞32𝑞6−𝑞3−1=0，又𝑞≠0，故2𝑞6−𝑞3−1=0，所以𝑆3+𝑆6≠2𝑆9，与𝑆3，𝑆9，𝑆6成等差数列矛盾，故𝑞≠1.因为𝑞3≠1，即2𝑞3+1𝑞3−1=0，所以𝑞3=−12,【例6.6变式1】设数列𝑎𝑛是等比数列，其前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆3=3𝑎3，则其公比q等于_________.【解析】当𝑞=1时，𝑆3=3𝑎1=3𝑎3，符合题目条件；当𝑞≠1时，由𝑆3=𝑎11−𝑞31−𝑞=3𝑎1𝑞2，因为𝑎1≠0，所以1+𝑞+𝑞2=3𝑞2，2𝑞2−𝑞−1=0，即（2𝑞+1）𝑞−1=0，因为𝑞≠1，所以𝑞=−12.综上，公比𝑞为1或−12.【例6.9】已知等差数列𝑎𝑛的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎4=18−𝑎5，则𝑆8等于（）.A.18B.36C.54D.72【解析】由𝑎4=18−𝑎5得，𝑎4+𝑎5=18，故选D.𝑆8=𝑎1+𝑎8×82=𝑎4+𝑎5×82=18×82=72.题型75等差、等比数列的性质应用【例6.9变式2】在等差数列𝑎𝑛中，已知若𝑎4+𝑎8=16，则该数列的前11项和为𝑆11等于（）.A.58B.88C.143D.176【解析】因为𝑎𝑛为等差数列，所以𝑎4+𝑎8=2𝑎6=16，得𝑎6=8，则𝑆11=11𝑎6=88.故选B.【例6.10】等差数列𝑎𝑛的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆2=2，𝑆4=10，则𝑆6等于（）.A.12B.18C.24D.42【解析】所以𝑆2，𝑆4−𝑆2，𝑆6−𝑆4也成等差数列，且𝑆2=2，𝑆4−𝑆2=8，知𝑆6−𝑆4=14，故选C.可得𝑆6=14+𝑆4=14+10=24.【评注】本题除了使用本法求解之外，还有集中求解方法，如:（1）基本量法；（2）使用𝑆𝑛𝑛为等差数列求解.因为𝑎𝑛是等差数列，【6.10变式1】设𝑆𝑛为等差数列𝑎𝑛的前𝑛项和，若S4S8=13，则S8S16等于（）.A.310B.13C.19D.18【解析】由等差数列的性质知，令𝑆4=𝑘，𝑆8=3𝑘，故选A.则𝑆16=10𝑘，所以S8S16=310.𝑆4，𝑆8−𝑆4，𝑆12−𝑆8，𝑆16−𝑆12成等差数列，则𝑆8−𝑆4=2𝑘，𝑆12−𝑆8=3𝑘，𝑆16−𝑆12=4𝑘，【例6.10变式2】设等比数列𝑎𝑛的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆6𝑆3=3，则𝑆9𝑆6等于（）.A.2B.73C.83D.3【解析】因为𝑎𝑛是等比数列，则可设𝑆6=3𝑘，𝑆3=𝑘，（𝑘≠0），则（𝑆6−𝑆3）2=𝑆3×（𝑆9−𝑆6），得𝑆9=7𝑘，故𝑆9𝑆6=73.故选B.所以𝑆3，𝑆6−𝑆3，𝑆9−𝑆6也成等比数列，【例6.11】已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）.A.5B.4C.3D.2【解析】依题意有𝑆奇=𝑎1+𝑎3+𝑎5+𝑎7+𝑎9=15，𝑆偶=𝑎2+𝑎4+𝑎6+𝑎8+𝑎10=30，可知𝑆偶−𝑆奇=5𝑑=15，得𝑑=3.故选C.【例6.11变式1】已知等差数列的前𝑛项和为377，项数𝑛为奇数，且奇数的和与偶数项的和之比为7:6，求中项.【解析】则𝑎1，𝑎2，⋯，𝑎𝑘，𝑎𝑘+1⋯，𝑎2𝑘+1的中项为𝑎𝑘+1，解得𝑘=6，即中项为29.设𝑛=2𝑘+1𝑘∈𝐍∗.𝑆𝑛=𝑆2𝑘+1=2𝑘+1𝑎𝑘+1=377𝑆奇𝑆偶=𝑘+1𝑘=76𝑎𝑘+1=𝑎7=𝑆1313=37713=29，【例6.12】已知数列𝑎𝑛是递增数列，且对𝑛∈𝐍∗，都有𝑎𝑛=𝑛2+𝜆𝑛，则实数𝜆的取值范围为（）.A.−72,+∞B.0,+∞C.−2,+∞D.−3,+∞【解析】得𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2𝑛+1+𝜆0，由递增数列的定义，得𝑎𝑛+1𝑎𝑛𝑛∈𝐍∗，则𝜆−3.故选D.即𝜆−2𝑛−1𝑛∈𝐍∗恒成立，【评注】(1)[错解]因为𝑎𝑛=𝑛2+𝜆𝑛=𝑛+𝜆22−𝜆24，由题意知𝑎𝑛为递增数列，所以𝑎𝑛=𝑛2+𝜆𝑛在1,+∞上是单调递增函数，因此可得−𝜆2≤1，解得𝜆≥−2，即所求𝜆的取值范围是𝜆≥−2.以上解答由𝑎𝑛是递增数列断定𝑎𝑛=𝑛2+𝜆𝑛在1,+∞上是单调递增函数，这是错误的，因为数列通项公式中𝑛是正整数，而不是取1,+∞上的任意实数.如图所示的数列𝑎𝑛显然是递增数列，但不满足−𝜆2≤1，事实上−𝜆2≤32.上述错解是由于忽略𝑛的取值范围而导致错误.O321yxx=-λ2（2）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即若数列𝑎𝑛是递增数列⟺∀𝑛∈𝐍∗，𝑎𝑛+1≥𝑎𝑛恒成立.（3）数列𝑎𝑛=𝑓𝑛𝑛∈𝐍∗的单调性与函数𝑦=𝑓𝑥，𝑥∈1,+∞的单调性不完全一致.即“离散函数有单调性⇏连续函数有单调性；连续函数有单调性⇒离散函数有单调性.”【例6.13】在等差数列𝑎𝑛中，已知𝑎1=20，前𝑛项和为𝑆𝑛且𝑆10=𝑆15，求当𝑛取何值时，𝑆𝑛取最大值，并求此最大值.【分析】由𝑎1=20及𝑆10=𝑆15，可求出𝑑，进而求出通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用𝑆𝑛是关于𝑛的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.【解析】所以𝑎𝑛=20+𝑛−1×−53解法一：得𝑑=−53，所以当𝑛=12或𝑛=13