1、1、1算法的概念学案(已修改)

教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”[e-mail]新课标人教A版高一数学讲义编写者：孟凡洲QQ：19174531311、1、1算法的概念讲义编写者：数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点；2、会写出解二元一次方程组、判断一个数为质数和二分法求近似解的算法；3、把自然语言转化为算法语言.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第2页内容，回答问题（解二元一次方程组的步骤）1我们知道解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法，请你结合教材的例子112212{yxyx总结用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的步骤.2请同学们总结解一般二元一次方程组12111222{cybxacybxa的步骤.结论：1①加减消元法解二元一次方程组：回顾二元一次方程组112212{yxyx的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：第一步，1+2×2，得5x=13.第二步,解3，得：x=1/5，第三步，2-1×2得5y=34.第四步,解4，得y=3/5.第五步：得到方程组的解为5/15/3{xy2代入消元法解二元一次方程组112212{yxyx我们可以归纳出以下步骤：第一步，由1得x=2y-13.第二步，把3代入2，得2（2y-1）+y=14.第三步，解4得y=3/55.第四步，把5代入3，得x=2×3/5-1=1/5.第五步，得到方程组的解为：5/15/3{xy2对于一般的一元二次方程组12111222{cybxacybxa，其中01221baba，可以写出类似的求解步骤：第一步，1×2b-2×1b,得21121221)(cbcbxbaba3.第二步，解3，得)/()(12212112babacbcbx.第三步，2×1a-1×2a,得12211221)(cacaybaba4.第四步，解4，得)/()(12211221babacacay.第五步，得到方程组的解为1221211212211221)/()()/()({babacbcbxbabacacay上述步骤构成了解二元一次方程组的一个算法，我们可以根据这一算法编制计算机程序，让计算机来解二元一次方程组.2、根据第一块内容，结合算法的定义，回答问题（算法）3根据上述实例，说说你对算法的理解.4请同学们总结算法的特征.结论：3广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限点的步骤.教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”[e-mail]新课标人教A版高一数学讲义编写者：孟凡洲QQ：1917453132现在算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.4①确定性：算法的每一部都应当做到准确无误、不重复、不遗漏.不重复是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，不遗漏是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性:算法从开始的第一步直到最后一步之间做到环环相扣，分工明确，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题有明确的结果，也就是说必须在有限步骤内完成任务，不能无限制的持续进行.思考：我们为什么要学习算法？结论：在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，它的优点是一种通法，只要按部就班的去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的基础.三、【综合练习与思考探索】练习一：教材例1：1设计一个算法，判断7是否为质数.2设计一个算法，判断35是否为质数.结论：1根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.根据以上分析，可写出如下的算法：第一步：用2除7，得到余数1，因为余数不为0，所以2不能整除7.第二步：用3除7，得到余数1，因为余数不为0，所以3不能整除7.第三步：用4除7，得到余数3，因为余数不为0，所以4不能整除7.第四步：用5除7，得到余数2，因为余数不为0，所以5不能整除7.第五步：用6除7，得到余数1，因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.2类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步：用2除35，得到余数1，因为余数不为0，所以2不能整除35.第二步：用3除35，得到余数2，因为余数不为0，所以3不能整除35.第三步：用4除35，得到余数3，因为余数不为0，所以4不能整除35.第四步：用5除35，得到余数0，因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.引申：教材P4探究：请写出判断整数n(n2)是否为质数的算法.教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”[e-mail]新课标人教A版高一数学讲义编写者：孟凡洲QQ：1917453133对于任意的整数n(n2)，若用i表示2—（n-1）中的任意整数，则判断整数n(n2)是否为质数的算法包含下面的重复操作.用i除n，得到余数r，判断余数r是否为0，若是，则n不是质数；否则，将i的值增加1.再执行同样的操作.这个操作一直要进行到i的值等于（n-1）为止.因此，判断整数n(n2)是否为质数的算法可以写成：第一步，给定大于2的整数n.第二步，令i=2.第三步，用i除n，得到余数r.第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.第五步，判断“i（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.练习二：教材例2：写出用“二分法”求方程x2-2=0(x0)的近似解的算法.结论：算法分析：令f(x)=x2-2=0(x0),则方程x2-2=0的解就是函数f(x)的零点.二分法的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间[a,b]（满足f(a)f(b)0）一分为二，得到[a,m]和[m,b].根据f(a)f(m)0是否成立，取出零点所在的区间[a,m]或[m,b]，仍记为[a,b].对所得的区间[a,b]，重复上述步骤，直到包含零点的区间[a,b]足够小，则[a,b]内的数可以作为方程的近似解.根据以上分析，可以写出如下的算法：第一步，令f(x)=x2-2=0，给出精确度d.第二步，确定区间[a,b]，满足f(a)f(b)0.第三步，取区间中点m=(a+b)/2.第四步，若f(a)f(m)0，则含零点的区间为[a,m]；否则，含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b].第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”[e-mail]新课标人教A版高一数学讲义编写者：孟凡洲QQ：1917453134则，返回第三步.当d=0.005时，按照以上算法，可以得到表1—1和图1.1—1于是，开区间（1.4140625，1.41796875）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.练习三：写出一个求有限整数列中的最大值的算法.结论：算法如下.S1先假定序列中的第一个整数为“最大值”.S2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数.S3如果序列中还有其他整数，重复S2.S4在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值.引申：写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法.S1max=aS2如果bmax,则max=b.S3如果Cmax,则max=c.S4max就是a,b,c中的最大值练习四：写出求1+2+3+4+5+6的一个算法.可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=2)1(nn进行，也可以根据加法运算律简化运算过程.算法1：S1：计算1+2得到3；S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21.算法2：教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”[e-mail]新课标人教A版高一数学讲义编写者：孟凡洲QQ：1917453135S1：取n=6；S2：计算2)1(nn；S3：输出运算结果.算法3：S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；S2：计算3×7；S3：输出运算结果.小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作.引申：求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法.算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；第三步，再将15乘以7，得到结果105；第四步，再将105乘以9，得到945；第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果.算法2：用P表示被乘数，i表示乘数.S1使P=1.S2使i=3S3使P=P×iS4使i=i+2S5若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束.小结由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句.因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法.在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”[e-mail]新课标人教A版高一数学讲义编写者：孟凡洲QQ：1917453136过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍.四、【作业】1、必做题：教材第5页练习1、2；2、选做题：写出通过尺规作图确定线段AB一个五等分点的算法.五、【课后练习】1、同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法.2、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法.3、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）4、写出解不等式x2-2x-30的一个算法.解：第一步：x2-2x-3=0的两根是x1=3，x2=-1.第二步：由x2-2x-30可知不等式的解集为{x|-1x3}.评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a0）如下：第一步：计算△=acb42；第二步：若△0，示出方程两根aacbbx2422,1（设x1x2），则不等式解集为{x|xx1或xx2}；第三步：若△=0，则不等式解集为{x|x∈R且xab2}；第四步：若△0，则不等式的解集为R.5、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法：第一步：取x1=a1，y1=b1，x2=a2，y1=b2；第二步：若x1=x2；第三步：输出斜率不存在；教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”[e-mail]新课标人教A版高一数学讲义编写者：孟凡洲QQ：1917453137第四步：若x1≠x2；第五步：计算1212xxyyk；第六步：输出结果.6、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法.第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；第二步：