【清华大学工物系课件】电离辐射探测_工程硕士课程(3)-辐射测量过程中的统计学

辐射探测学第三章辐射测量过程中的统计学2/96“随机性”是核辐射测量的本质属性，辐射测量中涉及到的各种现象都是随机的：为什么要讨论统计规律？具有确定的半衰期和衰变规律但，能否准确预知某个原子核何时衰变？两个相邻γ光子的时间间隔有多大？单位时间内发出了多少射线？源发射射线：X/γ射线、中子与物质发生相互作用是个概率事件。带电粒子在介质中损耗能量产生的电子－离子对的数目是不确定的。X/γ射线、中子与物质发生相互作用产生次级带电粒子（如电子、质子），进而发生电离形成的电子－离子对数目也是随机的。探测器测量射线：放射源探测器3/96过程的随机性结果的统计性每次测量得到的结果都是有同有异的异结果（例如计数值）是不同的：•100，99，103，98，100……•当然，偶尔也会有相同的结果同服从同样的统计分布在同样的测量条件下，不同次的测量结果之间存在的差异，称之为统计涨落——fluctuation。统计涨落是辐射测量过程中的内在属性，是无法消除的。统计涨落决定了辐射测量过程精度的极限，实际的精度只能比这个精度差（因为还要再考虑其它客观因素的影响）研究统计规律的意义：①探测装置是否正常？不同次测量，结果过分不一致，仪器可能不稳定不同次测量，结果过分一致，也有问题②“猜测”！如何理解测量结果——单次测量结果提供了什么信息？如何确定实验条件，例如：为了测源的活度，测量时间应为多久？4/96辐射测量过程中的统计规律√§3.1概率论基础知识§3.2核衰变数与探测器计数的涨落分布§3.3电离过程的涨落与法诺（Fano）分布§3.4粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落§3.5辐射粒子与信号的时间分布§3.6计数统计误差的传递§3.7测量数据的检验5/96§3.1概率论基础知识一．一些基本概念二．分布函数与数字表征三．几种典型的概率分布四．随机变量的运算与组合6/96一.一些基本概念：随机事件、概率和随机变量随机试验：一定条件下的每次观测。随机事件：随机试验的各种结果。随机变量：代表随机事件的数量ξ。样本：由N次测量中随机变量的取值构成：123,,,,iNxxxxx7/96概率实验的平均值：1NeiixxN概率：()limANNPAN描述在某种随机试验中的各个随机事件出现的可能性出现事件A的次数总试验次数事件A发生的概率8/96随机变量随机变量可以分为两类：离散型随机变量：可取值是有限个或“可列个”分立的数值。该类型随机变量用ξ表示，其可取值用xi表示。连续型随机变量：可取值是整个数轴或某一区间内的所有数值。连续型随机变量及其可取值则用X和x表示。9/96二.随机变量的分布函数与数字表征离散型随机变量ξ连续型随机变量X可取值分布函数概率分布概率密度函数相互关系归一性12,......iNxxxxiiFxPxiifxPxiiixFxfx1iixfxXFxPXx()fxFxxFxfxdx1fxdx10/96数字表征随机变量有两个重要的数字表征：①数学期望②方差①数学期望：E(ξ)或E(X)，简称为期望，又称为平均值、均值。描述的是随机变量的平均值。1()()NiiiEfxx或对于离散型随机变量ξ，其数学期望的定义为：()()EXxfxdx对于连续型随机变量X，其数学期望的定义为：11/96•算术平均值：–将若干次实验中随机变量所取的数值加在一起，再用实验次数除后，得到的平均值成为算术平均值。•算术平均值→数学期望：–当实验次数无限增加时，算术平均值将无限的接近数学期望。12/96方差、均方根偏差②方差：D(ξ)或D(X)，描述的是随机变量偏离其均值的程度。DDX或者=在应用中引入与随机变量具有相同量纲的量，它是方差的平方根，称为标准差、均方根偏差，记作：21NiiDxEfx或对于离散随机变量ξ，其方差D(ξ)为：2DXxEXfxdx对于连续型随机变量X，其方差D(X)为：13/96相对均方偏差•相对均方偏差•在实用中，我们会经常用到相对均方偏差（与以后将要学习到的能量分辨率有关），也称为相对均方涨落。2222()()[()][()]XDDXEEX或相对均方偏差：()()()()XXEEX或相对均方根偏差：方差反映的是随机变量在绝对意义上的分布离散程度。相对方差反映的是随机变量在相对意义上的分布离散程度。14/96相对均方根偏差(示例)020406080100050100150200250300350400450测量值测量次数（1～100）测量1(期望值为100的泊松分布)测量2(期望值为400的泊松分布)测量1(平均值：100.54，均方根偏差：9.65508)测量2(平均值：401.16，均方根偏差：20.68314)期望值：400实测平均值：401.16均方根偏差：20.68相对均方根偏差：5.17%期望值：100实测平均值：100.54均方根偏差：9.66相对均方根偏差：9.66%√相对离散度小，测量结果更精确哪个结果更精确15/96一些相似概念的区分①偏差(deviation)和残差(residual)()iixE偏差iiexx残差期望值平均值当真值未知的情况下，一般以偏差代替误差。16/96②准确度与精密度准确度(accuracy)测量值与被测对象真值的一致程度。可用测量值的平均值与真值的差来描述。精密度(precision)测量的可重复性或可靠性。可用测量的均方偏差来描述。北京：4.4环雅典：脱靶（普拉纳尔）埃蒙斯17/96③系统误差与偶然误差系统误差(systematicerrors)由于仪器本身的不精确、或实验方法粗略、或实验原理不完善而导致的测量值与实际值之间的误差。系统误差难于发现。无法通过统计的方法来进行分析，因为所有的数据都同时偏大或者偏小。偶然误差(randomerrors)由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、测量对象的物理量构成影响而导致的测量误差。利用大量的实验数据，可以实现对偶然误差的统计分析。偶然误差可以对通过对大量测量值进行平均的方法来进行削弱。所有的实验结果都有系统误差和偶然误差的问题!18/96系统误差影响测量的准确度偶然误差影响测量的精密度在核辐射的测量中，偶然误差是一项主要的误差，其来源有二：①核事件的随机性导致的统计涨落；②测量仪器在正常工作条件下的测量误差；其中，统计涨落是由核事件的内在物理属性所决定的，无法消除。关于偶然误差19/96三.几种常用的概率分布•在本课程中将会遇到的几种概率分布：•二项分布(BinomialDistribution)•泊松分布(PoissonDistribution)•高斯分布(GaussianDistribution)或者称为正态分布(NormalDistribution)伯努力试验(Bernoullitrial)20/96伯努力试验•伯努力试验(Bernoullitrial)一次试验，其结果只有两种可能，A和A’：例如：投掷硬币，正面朝上还是背面朝上？新生的婴儿，是男孩还是女孩？蚊子在经受杀虫剂后会死掉么？一个原子核在经过时间T之后，是否发生了衰变？衰变的概率：p没有衰变的概率：1-p将这样的试验重复做N次，如果各次试验的结果互不影响，就得到了N重伯努力试验。21/96伯努力试验、二项分布•N重伯努力试验：数学期望：mNp……t=012Nt=T123x-1xp……2(1)(1)mpNpp方差：2m当p很小时，方差：x的取值范围为：[0,]N!()(1)(1)()!!nnNnnNnNNPnCppppNnnx=n的概率为：若每个原子核在T时间后发生衰变的概率为p以x表示在T时间后发生衰变的原子核的数目，则：二项分布22/96二项分布、泊松分布•若N很大(≥100)，p很小(≤0.01)时：!()(1)()!!nNnNPnppNnn(1)(2)(1)(1)!nNnNNNNnppn(1)!nnNnNppn()!nnpNnNpen()!nnpNNpen()!nNpNpen!nmmemNpn，这里，是二项分布的数学期望值。N很大p很小Nn二项分布→泊松分布23/96泊松分布()!nmmPnen泊松分布只有一个参数，即数学期望值m。方差：mm均方根偏差：024681012140.000.050.100.150.200.250.300.350.40P(n)nm=1m=2m=3m=4m=5m=6m=7m=8不同期望值的泊松分布24/96高斯分布•当m1时,泊松分布可以简化为高斯分布010203040500.000.020.040.060.080.10P(n)nPoissondistributionNormaldistributionm=20()!nmmPnen泊松分布222()()2211()22nmnmmPneem高斯分布20m25/96例题tm例1：若在时间内，放射源放出粒子的平均值为=400，试求：(1)在相同时间内放出400个粒子的概率；(2)出现绝对偏差|m-n|20的概率。源发射粒子的数目服从泊松分布，用泊松分布来做的难处是什么？m=400,40020解：(1)因为则，代入高斯分布的公式，得到：22(400400)/22010.0220e1P(n=400)=23.14所以放出粒子数的偏差|m-n|20的概率为：1-(380420)1-(-11)1-1--12-10.3174PnPz1-(379.5420.5)1-(-1.0251.025)1-1.025-1.02521.0250.3054PnPz“”420400(2)1(1)0.841320n-m进行变量置换，令z=，查表知212101()2zzzedz26/96例题(-)(-)()-(-)PmKmnmKmPKzKKK2mmm2m3mmm例：设衰变核素平均值为，求其观测值落在，，范围内的概率。解：所求概率当K=1,2,3时，相应的概率分别为0.683,0.955,0.99727/96四.随机变量的运算与组合•复杂随机变量往往可以分解为由若干简单的随机变量运算、组合而成。•可用已知的简单随机变量的分布函数与数字表征来求复杂随机变量的分布函数和数字表征。28/96相互独立随机变量的运算组合YCX(1)1.设随机变量Y=f(X1,X2,...,Xi,...,Xn)是若干随机变量X1,X2,...,Xi,...,Xn的函数，其函数的表达形式可以是这些变量的四则运算，也可能是更复杂的函数形式；2.Y的可取值及其概率分布受各Xi的可取值和概率分布共同决定的。一般来说，Y的概率分布是比较复杂的；一些简单情况下Y与Xi的概率分布或数字表征之间的关系：2()()CCDXDX()()EXCCXE1212()()()EXXEXEX1212()()()DXXDXDX1212()()()EXXEXEX相互独立的随机变量的和与差的方差是各随机变量的方差的和。相互独立的随机变量的积的方差并非是各随即变量的方差的积。相互独立的服从泊松分布的随机变量之差常数不服从泊松分布服从和12YXX(2)12(3)YXX29/96示例02004006008001000050100150200250300泊松分布A(m=80)泊松分布B(m=120)B-AB+A试验结果试验次数050100150200250020040060080010001200频次试验结果A(m=80,D=83)B(m=1