专题22 平面向量共线定理-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)

【高考地位】随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题.【方法点评】类型一在几何问题中的应用使用情景：平面几何证明、求值等问题中的应用解题模板：第一步将已知条件进行向量处理；第二步利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；第三步得出结论.例1平面内有一个ABC和一点O，线段OAOBOC、、的中点分别为EFGBCCAAB、、,、、的中点分别为LMN、、，设,,OAaOBbOCc.（1）试用,,abc表示向量,ELFMGN、；（2）证明线段ELFMGN、、交于一点且互相平分.【答案】（1）111,,222OEaOLbcELOLOEbca，12FMacb，12GNabc；（2）证明见解析.【解析】试题解析：（1）111,,222OEaOLbcELOLOEbca，11,22FMacbGNabc.（2）证明：设线段EL的中点为1P，则11124OPOEOLabc，设FMGN、中点分别为23,PP，同理：214OPabc，314OPabc，∴123=OPOPOP，即其交于一点且互相平分.学科网[来源:学#科#网Z#X#X#K]考点：1、向量的三角形法则；2、向量的线性运算．例2如图，等腰三角形ABC，120,2BACACAB.FE,分别为边ACAB,上的动点，且满足ACnAFABmAE,，其中1),1,0(,nmnm，NM,分别是BCEF,的中点，则MN的最小值为______.【答案】21【解析】试题分析：连接,AMAN，∵等腰三角形ABC中，120,2BACACAB，∴cos1202ABACABAC，∵AM是AEF的中线，∴11()()22AMAEAFmABnAC，同理，可得1()2ANABAC，考点：向量在几何中的应用．【思路点睛】由等腰三角形ABC中，120,2BACACAB，算出2ABAC．连接,AMAN，利用三角形中线的性质，得到1()2AMAEAF，1()2ANABAC，进而得到11(1)(1))22MNANAMmABnAC．将此式平方，代入题中数据化简可得22(1)(1)(1)(1)MNmnmn，结合1mn消去n，得2113()24MNm，结合二次函数的性质可得当12m时，2MN的最小值为14，所以MN的最小值为21．本题的关键是用基底向量,ABAC的关系式表示出向量MN，再求向量MN模的最小值，主要考查平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题．【变式演练1】已知向量12,ee是两个不共线的向量，若122aee与12bee共线，则（）A．2B．2C．12D．12【答案】C【解析】试题分析：由//ab，所以121222()1meemeem，解得12，故选C.学科网考点：向量的共线的应用.【变式演练2】已知非零向量12,,，eeab满足12122,aeebkee，给出以下结论：①若1e与2e不共线，a与b共线，则2k；②若1e与2e不共线，a与b共线，则2k；③存在实数k，使得a与b不共线，1e与2e共线；④不存在实数k，使得a与b不共线，1e与2e共线.其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】考点：共线向量定理．【变式演练3】如图，四边形OABC是边长为1的正方形，3OD，点P为BCD内（含边界）的动点，设(,)OPOCODR，则的最大值等于（）A．14B．1C．13D．43【答案】Ｄ类型二在求动点轨迹中的应用使用情景：题设中有“向量的数量积”“平行”即共线等求点的轨迹解题模板：第一步将已知条件转化为向量的表示；第二步利用平面向量的运算法则和平面向量的性质对其进行求解；第三步得出结论.例3如图,过A(-1,0)，斜率为k的直线l与抛物线C:24yx交于P、Q两点，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。【答案】Ｄ.【点评】本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法解答，简单明快，容易接受.学科网【变式演练4】已知椭圆1162422yx，直线1812yx，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=2||OR，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？【答案】点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为102和153且长轴与x轴平行的椭圆.【解析】设(,)Qxy（其中x、y不同时为0）由非零向量OQ、OR、OP共线，可设OROQ，OpOQ，则(,)ORxy,(,)Opxy,分别代入椭圆方程、直线方程得：【点评】本题我们注意到点Q在OP上，于是存在OQ、OR、OP共线，因此可借助两个非零向量共线的充要条件，巧设参数、转化已知条件|OQ||OP|=2||OR为2，使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点.学科网【变式演练5】如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E。1求曲线E的方程；2若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点,GH（点G在点,FH之间），且满足FHFG，求的取值范围。【答案】1.1222yx；21,13。【解析】（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为,12,222yxkxy代入椭圆方程得.230.034)21(222kkxxk得由设2212212211213,214),,(),,(kxxkkxxyxHyxG则[来源:学_科_网])2,()2,(,2211yxyxFHFG又2122221222122121)1(.,)1(,xxxxxxxxxxxxx，222222)1()121(316,213)1()214(kkkk整理得.331.316214.316323164,2322解得kk.131,10又又当直线GH斜率不存在，方程为.31,31,0FHFGx)1,31[,131的取值范围是即所求.考点：向量的运算；椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。【高考再现】1.【2015高考新课标1，理7】设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则（）（A）1433ADABAC(B)1433ADABAC（C）4133ADABAC(D)4133ADABAC【答案】A【解析】由题知11()33ADACCDACBCACACAB=1433ABAC，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD表示为ACCD，再用已知条件和向量减法将CD用,ABAC表示出来.2.【2015高考北京，理13】在ABC△中，点M，N满足2AMMC，BNNC．若MNxAByAC，则x；y．【答案】11,26【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.学科网3.【2015高考新课标2，理13】设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_________．[来源:学#科#网Z#X#X#K]【答案】12【考点定位】向量共线．【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．4.【2015江苏高考，6】已知向量a=)1,2(，b=)2,1(,若ma+nb=)8,9((Rnm,),则nm的值为______.【答案】3【解析】由题意得：29,282,5,3.mnmnmnmn【考点定位】向量相等【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用.向量共线的充要条件的坐标表示：若1122()()axybxy，，，，则ab∥⇔12210xyxy-.向量垂直的充要条件的坐标表示：若1122()()axybxy，，，，则ab⇔1212+0xxyy.【反馈练习】1.【2015-2016学年江西省横峰中学高一下学期期中考试数学试卷，理5】己知12112),(,0ebReeae,则a与b共线的条件为（）A.0B.02eC.21//eeD.21//ee或0【答案】D【解析】试题分析：若,ab共线，则存在m使amb，即1212eeme，所以当,ab共线时，有=0或12ee.故选D.考点：向量共线的充要条件及坐标表示.2．【2015-2016学年安徽六安一中高一下周末作业九数学试卷，理10】如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得CDDE.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中1AEADDEPADABAD，下列判断正确．．的是（）A．满足2的点P必为BC的中点B．满足1的点P有且只有一个[来源:学科网ZXXK]C．满足的最大值为3D．满足的最小值不存在【答案】C【解析】PAD时，有0，01，01，02，综上，03．选项A，取1满足2，此时APABAEAD，因此点P不一定是BC的中点，不正确；选项B，当点P取B或AD的中点时：满足1的点P不唯一，因此不正确；选项C，当点P取C点时，1且1，解得2，1，取得最大值为3；选项D，当P取点A时，取得最小值0，因此不正确．故选C.学科网考点：1、向量的几何运算；2、向量的坐标运算；3、向量的数乘.3．【2016届山东省滨州市高三第二次模拟考试数学试卷，理9】在ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足NMAN31，若),(RACABAN，则的值为（）A．41B．31C．1D．4【答案】A【解析】考点：平面向量．4.【2016届海南省海南中学高三考前模拟十二数学试卷，理9】如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF等于（）A．1123ABADB．1142ABADC．1132ABDAD．1223ABAD【答案】D【解析】试题分析：根据向量加法、减法的三角形法则可知EFAFAEABBFADDE11123223ABADADABABAD,故选D.考点：平面向量的线性运算.5.【2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一数学试卷，文15】已知等差数列na的前n项和为nS，若42013OBaOAaOC，且,,ABC三点共