专题二 三角函数、平面向量综合题的解答

专题二三角函数、平面向量综合题的解答本节目录专题探究突破热点知能演练轻松闯关目录专题探究突破热点方法综述三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一．近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和差角与倍角公式等．解答题主要考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置．目录平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一．高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义；二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、几何问题中的应用．目录专题探究专题1三角函数的化简与求值三角函数的化简与求值是高考考查的重点内容．近几年高考解答题单独考查逐渐减少，多在某一问中进行考查，解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用、变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．目录例1设函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝13，fC2＝－14，且C为锐角，求sinA.【解】(1)f(x)＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12cos2x－32sin2x＋12－12cos2x＝12－32sin2x.目录所以，当2x＝－π2＋2kπ，即x＝－π4＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)最大值＝1＋32，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，故函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)fC2＝－14，即12－32sinC＝－14，解得sinC＝32，又C为锐角，所以C＝π3.目录由cosB＝13得sinB＝223.因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝223×12＋13×32＝22＋36.目录专题2三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质是高考考查的重点，其中图象的变换是重中之重，函数的各种变换，都是对自变量x与函数值y进行的变换．准确作出三角函数的图象，可以帮助我们迅速而又准确地求解相关问题．目录例2(2012·高考重庆卷)设函数f(x)＝4cosωx－π6·sinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.(1)求函数y＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．【解】(1)f(x)＝432cosωx＋12sinωxsinωx＋cos2ωx＝23sinωxcosωx＋2sin2ωx＋1－2sin2ωx＝3sin2ωx＋1，因为－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[1－3，1＋3]．目录(2)因为y＝sinx在每个闭区间2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝3sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间kπω－π4ω，kπω＋π4ω(k∈Z)上为增函数．依题意知－3π2，π2⊆kπω－π4ω，kπω＋π4ω对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.目录专题3三角形中的三角函数此类题主要考查三角函数在三角形中的应用．解三角形的关键是在转化与化归数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式及定理解题．目录例3(2012·高考江西卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．【解】(1)证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，目录sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，由于0＜B，C＜34π，从而B－C＝π2.(2)B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.目录专题4平面向量与三角函数此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的数量积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．解答时首先利用向量进行转化，再利用三角函数知识求解．目录例4(2012·高考山东卷)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(3Acosx，A2cos2x)(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在0，5π24上的值域．目录【解】(1)f(x)＝m·n＝3Asinxcosx＋A2cos2x＝A32sin2x＋12cos2x＝Asin2x＋π6.因为A＞0，由题意知A＝6.(2)由(1)知f(x)＝6sin2x＋π6.将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位后得到目录y＝6sin2x＋π12＋π6＝6sin2x＋π3的图象；再将得到图象上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin4x＋π3的图象．因此g(x)＝6sin4x＋π3.因为x∈0，5π24，所以4x＋π3∈π3，7π6，故g(x)在0，5π24上的值域为[－3,6]．目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放