附录一一维不稳定导热的数值解法

1附录一一维不稳定导热的数值解法一维不稳定导热通常用有限差分法来求解。这种方法的基础是以不连续过程来代替空间里和时间上连续变化的过程。如将一维不稳定导热的微分方程式：22xtat用有限差量代替无限小量，则写为：22xtat这样解的精确性差，但简单得多，如果⊿x与⊿τ选择愈小，计算结果愈精确。采用有限差分法来计算平壁内温度分布的原理及方法叙述如下。如图1所示，一个厚度为x的平壁，将此平壁分为若干薄层，厚度各为⊿x，在某一个时间内具有如图所示的温度分布。图1有限差分法图解各平壁内部温度计算首先写出abcd区域的热平衡，这个区域的平均温度以t1表示，在平面ab上的温度降度为xttdxdt10，在平面cd上的温度降度为xttdxdt21.通过ab面的热流密度xttq101通过cd面的热流密度xttq212221qqq，这个差额便是热流通过时留下来的部分，它用来加热物体，使abcd区域的平均温度由t1升至t1’，其热平衡关系为:)(1'12110ttcxxttxttp因为导温系数pca,即xxttxttattt21101'1整理上式，则)()(21'12210ttaxttt令傅立叶准数2)(xaFo，为了保证差分方程正常收敛，必须遵守稳定性条件，即:21)(2xaFo取2)(2ax，则220'1ttt这就是说，只要知道前一个时间间隔⊿τ相邻两层温度，就可用算术平均值的方法求出下一个时间间隔⊿τ后该层温度。即该层温度为前一时间间隔⊿τ相邻两层温度和的一半。若用n表示层数，k表示时间，写成通式为必须强调的是：因为取2)(2ax，当选定了⊿x值后，⊿τ就不能再任意选择，而是与被选定的⊿x有如下关系：ax2)(2各平壁之间的温度计算当平壁由两种或两种以上材料组成时，由于所取的时间间隔⊿τ必须相同，因此当第一2,)1(,)1()1(,kxnkxnkxnttt3种材料⊿xA确定后，第二种材料⊿xB不能任意选取，二者之间关系为BBAAaxax2)(2)(22故ABABaaxx对于两种或两种以上材料组成的平壁，由于两种材料的性质不同，影响了交界面处的温度分布。如图1所示，由两种材料A和B组成的平壁，在同一时间间隔⊿τ，ab表面的温度为tA，cd表面温度为tB,交界面的温度为t，经过一个时间间隔⊿τ后交界面处的温度t’可按如下方法求出：AAAxttq/1，BBBxttq/2ttCxCxxttxttqqqBBBAAABBBAAA')22(//21(a)其中：AAAAAAAAAAAAAAAxxaxxCxCx2)(2)(222(b)BBBBBBBBBBBBBBBxxaxxCxCx2)(2)(222（c）将(b)和(c)代入（a），并经整理得)('BABBttKtt或)('ABAAttKtt式中：BABBRRRKBAAARRRKRA和RB分别为A、B两种材料的热阻。外壁温度计算当已知气体温度和气体与壁面的热交换条件时，即第三类边界条件，固体壁面温度可按下述方法计算。由固体壁面向气体所传递的热流密度为：/1gwgwttq4假定在最外一层平壁1⊿x或(n-1)⊿x中热流不变，即从1⊿x或（n-1）⊿x处至表面的热流密度为/1/101gwgwwxttqxttq经整理得)(1gxggwttKtt式中gggRRRxK1/1[例]窑墙由耐火粘土砖、轻质砖和建筑砖砌成，厚度分别为0.23、0.115和0.24m，整个窑墙起始温度为20℃，外界空气温度为20℃且始终不变，窑内壁温度在8h内上升至820℃以后保温一个间隔时间⊿τ，试计算此时窑墙的温度分布及蓄热量，窑墙材料物性参数见表：窑墙材料物性参数λ（W/（m℃）Cp（J/（kg℃）ρ(kg/m3)耐火粘土砖λ=0.698+0.64×10-3tCp=838+0.285t2000轻质砖λ=0.262+0.232×10-3tCp=838+0.285t800建筑砖λ=0.465+0.51×10-3tCp=838+0.285t1750解：假定内壁温度从20℃上升至820℃以后保温一个间隔时间⊿τ后墙内各材料的平均温度分别为240.9℃、41.95℃和21.2℃。则CmWo/852.09.2401064.0698.031CmWo/272.095.4110232.0262.032CmWo/476.020.211051.0465.033)/(65.9069.240285.08381kgKJCp)/(96.84995.41285.08382kgKJCp)/(04.48420.21285.08383kgKJCpsmcap/1070.4200065.906852.0271111smcap/1000.480096.849272.0272222smcap/1022.3175004.844476.02733335将耐火砖粘土砖分为5层.mxn046.0523.0;511hsax625.006.2251107.42)046.0(2)(7212maaxx042.01070.41000.4046.0771212maaxx038.01070.41022.3046.077131374.2042.0115.02n取n2=332.6038.024.03n取n3=6WCmxRoA/1040.5852.0046.02211WCmxRoB/1044.15272.0042.02222WCmxRoC/1098.7476.0038.0223374.01044.151040.51044.15222BABBRRRK34.01098.71044.151098.7222CACCRRRK墙外表面的对流换热系数：25.01)(gwttK设外表面温度为20.01℃，则CmWo225.01/81.0)2001.20(56.2墙外表面的辐射换热系数：CmWTTttCogwgw2444402/681.4])100293()10001.293[(2001.2067.582.0])100()100[(工程计算中，常用下列简化公式计算平壁对无限大空间的自由对流换热系数25.01)(gwttK式中K——系数，垂直平壁K=2.56;热表面朝上K=3.26;热表面朝下K=1.636墙外表面的综合换热系数)/(491.5681.481.0221CmWo699.0491.51476.0038.0491.5/11/133xKg进行各节点温度计算:内壁温度经8h从20℃升至820℃，因此内壁升温速率hCvo/1008)20820(内壁每时间间隔⊿τ（0.625h）内温度升高100×0.625=62.5℃。计算结果见表1。计算举例：（1）1⊿τ0⊿x1时Cvtto5.82625.0100200（2）3⊿τ1⊿x1时Ctttoxxx5.8222014522,22,03,14⊿τ1⊿x1时Ctttoxxx57.121263.355.20723,23,04,1（3）7⊿τ5⊿x1（界面）时CttKttoBABB79.25)2082.27(74.020)('（4）8h的温度分布根据7.5h和8.125h的温度，采用内插法求解。（5）8h后保温1⊿τ温度分布则以8h温度分布为基准再按有限差分法计算验算初始所假定的平均温度是否恰当：第一种材料耐火砖平均温度：CTo8.2392230.99820201相对误差%46.08.2398.2399.2401E第二种材料轻质砖平均温度：CTo09.412204.2530.99202相对误差7%1.209.4109.4195.412E第三种材料建筑砖平均温度：CTo26.21222004.25201相对误差%28.02.212.2126.213E相对误差E1,E2,E3均小于5%，假定合适，不必重新计算。计算蓄热量：耐火砖的平均温度Cto27.347544.13619.21736.35469.56823.998201轻质砖的平均温度Cto94.51322.3643.57204.253.992建筑砖的平均温度Cto87.20601.2003.2018.2057.2091.2122004.253蓄热量：耐火粘土砖281011111/1036.1)2027.347(65.906200023.0)(mJttCxq轻质砖252022222/105.2)2094.51(96.84980115.0)(mJttCxq建筑砖253033333/1008.3)2087.20(04.844175024.0)(mJttCxq总蓄热量：28321/1037.1mJqqqq8表1有限差分法计算结果