数学：2.2.1《综合法和分析法》课件(1)(新人教A版选修2-2

2.2直接证明与间接证明综合法和分析法探究（一）：综合法思考1：对于不等式其左右两边的结构有什么特点？2222()()4abcbcaabc+++?右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？基本不等式思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不等式性质证明2222()()4abcbcaabc+++?+++例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:直接证明法1、——综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立.综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”，其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未知.若用P表示已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，Q表示所要证明的结论，则综合法的推理过程用流程框图可怎样表示？…1PQÞ12QQÞ23QQÞnQQÞ1,,.PQRABCABPBCQACR例、在平面外,求证:、、三点共线2222ABCAB=a,CA=b,1:S||||)2ABCabab例、在中，设求证例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．引例：基本不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2定义：从证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为只需判定一个明显成立的条件（已知条件，定义、定理、公理）为止。直接证明法2、——分析法【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式分析法，又叫“逆推证法”或“执果索因法”，其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知.若用Q表示所要证明的结论，则分析法的推理过程用流程框图可怎样表示？…1QPÜ12PPÜ23PPÜ显然成立的条件例4求证：.3725+【例5】如图：过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F。求证：BCABABCSA,平面SCAFASBCEF例6已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，其中，求证：,()2kkZpabp??22221tan1tan1tan2(1tan)abab--=++直接证明（数学理论）上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止综合法相同不同证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止分析法【探究1】将9个球分别染成红色或白色无论怎样染色，至少有5个球同色的。正确吗？间接证明法——反证法反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.思考1：用反证法证题的核心问题是什么？在正确的推理下得出矛盾.思考2：在反证法应用中，矛盾的构设有哪几种情形？（1）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾；（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；（4）与客观事实矛盾.例7，已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根。用反证法证题的一般步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证,得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论正确。适宜使用反证法的情况（1）结论以否定形式出现（2）结论以“至多-------，”，“至少------”形式出现（3）唯一性、存在性问题（4）结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。常见否定用语是－－－不是有－－－没有等－－－不等成立－－不成立都是－－不都是，即至少有一个不是都有－－不都有，即至少有一个没有都不是－部分或全部是，即至少有一个是唯一－－至少有两个至少有一个有（是）－－全部没有（不是）至少有一个不－－－－－全部都例8已知直线a，b和平面α，如果，,且a//b，求证：a//α.理论迁移abαβba,小结1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.3.反证法是一种间接证明的方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，其基本思路是：假设结论不成立→构设矛盾→否定假设肯定结论.4.反证法主要适用于以下两种情形：（1）所证的结论与条件之间的联系不明显，直接有条件推出结论线索不清晰；（2）从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几种情形.