非圆齿轮系啮合传动的计算机辅助设计

收稿日期：2006-07-06基金项目：河北省教育厅科研资助项目（Z2005332）作者简介：高雪强（1968-），男，河北石家庄人，副教授，硕士，主要研究方向为计算机图形学及CAD。非圆齿轮传动机构具有实现非匀速比传动的特点，即当主动齿轮作匀速转动时，被动齿轮作变速运动。该机构具有结构牢靠、紧凑、传动平稳且易实现动平衡等优点。因此，常被用来传递某些特定的运动；或再现某些独立变量的函数[1],[2]。但由于非圆齿轮的节曲线为非圆形，增加了设计的复杂性和制造的难度。为了降低成本，节约时间，通过编程实现齿形的计算机辅助设计和齿轮副传动的动态模拟，从而直观的看到轮齿及啮合情况，验证设计结果。如有问题，可及时修改。2007年工程图学学报2007第4期JOURNALOFENGINEERINGGRAPHICSNo.4非圆齿轮系啮合传动的计算机辅助设计高雪强，崔振勇，印建平（河北科技大学，河北石家庄050054）摘要：基于自由节曲线的非圆齿轮可实现非匀速比传动，但其设计复杂、制造成本高。利用动画技术实现非圆齿轮传动的计算机辅助设计，可增强非圆齿轮设计的可预见性，降低成本。依据非圆齿轮啮合原理，确定轮齿在节曲线上的对应位置，推导了轮齿的齿廓、齿顶、齿根的曲线方程。给出了齿形设计的计算方法及啮合传动的模拟程序。最后，通过实例验证了方法的可行性。关键词：计算机应用；啮合传动；计算机辅助设计；非圆齿轮中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1003-0158(2007)04-0026-04ComputerAidedDesignoftheNon-CircularGearMeshingTransmissionGAOXue-qiang,CUIZhen-yong,YINJian-ping(HebeiUniversityofScienceandTechnology,ShijiazhuangHebei050054,China)Abstract:Non-circulargearmechanismbasedonfreepitchcurvecanrealizeratio-changedtransmission,butitsdesigniscomplexandmanufacturingcostishigh.Non-circulargearmechanismcanberealizedbyusingcomputeranimationtechnique.Thismethodmayenhancetheforesightofgeardesignandreducecosts.Basedonmeshingprinciple,toothlocationonthepitchcurveisdecidedandthecurveequationsforgearprofile,top-gear-toothandroot-gear-tootharededuced.Themethodoftoothdesignandsimulatedprogramofmeshingisprovided.Finally,anexampleshowsitsfeasibility.Keywords:computerapplication;meshingtransmission;CAD;non-circulargear1齿形设计1.1齿顶与齿根曲线计算非圆齿轮的齿顶高和齿根高，应在节曲线的法线方向计量。因此，齿轮的齿顶曲线和齿根曲线，理论上是节曲线的法向等距线，它们与节曲线之间的法向距离分别是齿顶高ha、齿根高hf，如图1所示。在节曲线的a点处，沿法线向外侧取长度ha，得到A点，它就是齿顶曲线上的一点；沿法线向内侧取长度hf，得到B点，它就是齿根曲线上的一点。图1非圆齿轮的齿顶曲线和齿根曲线由图可知222sincosarcsinaaaaaarOArhrhhrττθϕ⎧==++⎪⎨=−⎪⎩（1）222sincosarcsinffffffrOBrhrhhrττθϕ⎧==+−⎪⎪⎨=+⎪⎪⎩（2）式中τ表示齿轮节曲线在a点的切线正方向与向径r的正向的夹角,darctandrrφτ⋅=。1.2齿廓计算非圆齿轮的齿廓并不像圆齿轮那样是基圆的渐开线，而且每个轮齿的齿廓也不相同。由非圆齿轮节曲线的方程式，可计算出非圆齿轮的齿廓坐标。令直角坐标系中的原点与极坐标原点、x轴与极轴重合，如图2齿廓分析所示。则齿廓线上的任一点n可由下面的矢量方程式求得[2]0=+rran（3）式中r0表示齿形上任一点n的向径；r表示齿形上n点的法线与节曲线交点处的节曲线向径；an表示自齿廓法线与节曲线交点a起，沿齿形法线方向到齿廓的距离。下面用解析法求非圆齿轮的齿廓坐标。如图2所示，令直角坐标系中的原点与极坐标原点、x轴与极轴重合，向量an与x轴的夹角为β，则齿廓的直角坐标方程为coscossinsinxranyranθβθβ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩（4）根据齿廓所处的位置不同，分4种情况讨论。分别为位于齿顶线与节曲线间的右上齿廓（图2(a)）、位于齿根线与节曲线间的右下齿廓（2(b)）、位于齿顶线与节曲线间的左上齿廓（图2(c)）、位于齿根线与节曲线间的左下齿廓（图2(d)），公式（4）中β的取值分别对应为：1nβθτα=++−π，nατθβ++=2，nατθβ−+=3，4nβθτα=+−−π。根据齿轮基本啮合定理（Willis定理）有cosnanSα=（5）式中S表示齿形与节曲线的交点a0到齿形曲率半径与节曲线交点a间的节曲线弧长，即aaS0=；nα表示齿条刀具齿形角。1.3齿形的计算机辅助设计当一对非圆齿轮的传动比函数i12及中心距xyoθr0ranταna0(b)xoyr0ra0aταnn(a)θa0noxyr0raτθαn(d)xyana0rr0αnθo(c)τ图2齿廓分析图第4期高雪强等：非圆齿轮系啮合传动的计算机辅助设计·27·齿顶曲线齿根曲线o节曲线τbAMBahahfcrθaθfφo图3轮齿在节曲线上的位置o1P(Ⅰ1,Ⅱ1)Ⅰ2Ⅰ3Ⅱ3o2Ⅱ2A确定后，就可唯一确定两非圆齿轮的节曲线，从而计算出齿形坐标并绘制出齿形图。设计过程如下：（1）根据设计要求，给出传动比函数i12；根据齿轮传动结构尺寸和强度的要求，确定非圆齿轮的模数m和齿数z；（2）根据齿轮节曲线的周长S应等于齿距的整数倍，即Smz=π，通过数值积分求得两齿轮中心距A；（3）由i12和A，求得符合设计要求的节曲线方程；（4）根据齿距pm=π，通过数值积分，确定出z个轮齿在节曲线上的位置；（5）由齿顶线、齿根线及齿廓线方程，计算出轮齿坐标；（6）绘制非圆齿轮的齿形图。2啮合传动动态模拟2.1确定齿轮系各轮齿在节曲线上的位置圆齿轮的轮齿在分度圆上的位置是可以自由定的，而非圆齿轮在节曲线上的位置则不能随意定。因为主、从动轮的节曲线的切点位置是一一对应的，如图3所示，主动轮节曲线上的Ⅰ1、Ⅰ2点，分别与从动轮节曲线上的Ⅱ1、Ⅱ2点相切。若Ⅰ1Ⅰ2是主动轮的一个轮齿齿厚的话，Ⅱ1Ⅱ2必须是从动轮的一个齿槽宽度[1]。相互啮合的两轮齿在各自节曲线上的位置可由下面的方法得到：在齿轮1节曲线上确定一个点Ⅰ1作为起点，通过计算弧长，按节距p及弧齿厚s依次确定轮齿的左右两侧及各个轮齿在节曲线上的位置Ⅰ1、Ⅰ2、Ⅰ3、…。齿轮2节曲线上的Ⅱ1应是和Ⅰ1相切的点，同样通过计算弧长，依次确定Ⅱ1、Ⅱ2、Ⅱ3、…等点。极坐标方程为)(ϕrr=的节曲线，其弧长的计算公式为022d()ddrlrϕϕϕϕ=+∫（6）2.2齿轮副啮合传动程序设计非圆齿轮传动与圆齿轮传动有所不同，当主动轮匀速转动时，从动轮做非匀速转动。因此，在模拟其传动过程时，首先要计算两齿轮的转角对应关系。主动轮与被动轮间的传动关系为1210121diϕϕϕ=∫（7）根据已计算出的齿轮初始位置的齿形坐标值及两齿轮对应的转角值，由图形旋转变换矩阵T1、T2，计算出两齿轮不同转动位置的齿形坐标11111cossinsincosϕϕϕϕ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦T,22222cossinsincosϕϕϕϕ−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T再利用图形动画技术，对图形进行剪裁、粘贴，实现轮齿在不同转动位置的连续擦、画，即可显示齿轮的动态传动过程。为了便于观察和研究，程序的设计既可实现连续运动，也可保留瞬时状态；同时具有放大功能，便于齿廓啮合情况的观测。程序流程图如图4所示。图4程序流程图开始输入参数m,z,i12计算节曲线r1(φ1),r2(φ2)计算两齿轮齿形坐标x1(φ1),y1(φ1),x2(φ2),y2(φ2)图形及动画处理；模拟传动过程结束计算转角关系φ2=f(φ1)确定轮齿在节曲线上的位置计算中心距A·28·工程图学学报2007年3应用实例下面以机械工业中常用的椭圆齿轮为例，来演示非圆齿轮传动的动态模拟过程。取椭圆齿轮偏心率e=0.6,m=3,z=31，221121cos21eeei−+−=ϕ，将上述设计参数输入程序，计算得两椭圆齿轮中心距A=103.014。图5显示了该对椭圆齿轮在不同位置时的传动啮合情况；图6是局部放大的齿形啮合图。(a)(b)(c)(d)图5传动啮合图图6局部放大啮合图4结束语该程序采用VC编程，实现了非圆齿轮齿形计算机辅助设计和啮合传动的动态模拟，非常直观，效果良好，为非圆齿轮的设计提供了一种既经济又有效的途径。参考文献[1]吴序堂,等.非圆齿轮及非匀速比传动[M].北京:机械工业出版社,1997.40-41.[2]李富生,等.非圆齿轮与特种齿轮传动设计[M].北京:机械工业出版社,1983.58-61.第4期高雪强等：非圆齿轮系啮合传动的计算机辅助设计·29·非圆齿轮系啮合传动的计算机辅助设计作者：高雪强，崔振勇，印建平，GAOXue-qiang，CUIZhen-yong，YINJian-ping作者单位：河北科技大学,河北,石家庄,050054刊名：工程图学学报英文刊名：JOURNALOFENGINEERINGGRAPHICS年，卷(期)：2007,28(4)被引用次数：7次参考文献(2条)1.吴序堂非圆齿轮及非匀速比传动19972.李富生非圆齿轮与特种齿轮传动设计1983本文读者也读过(10条)1.李建霞.黄阳.LIJianxia.HUANGYang基于SolidEdge的非圆齿轮计算机辅助设计系统[期刊论文]-新技术新工艺2007(10)2.胡明.陈明偏心圆—非圆齿轮叶片差速泵驱动系统的安装设计与分析[会议论文]-20083.柏占伟.BAIZhan-wei多自由度包络铣削异形螺杆接触迹分析[期刊论文]-机械2009,36(4)4.高雪强.印建平.葛敬霞.石建玲.GaoXueqiang.YINJianping.GeJingxia.SHIJianling基于非圆节曲线的轮齿程序设计[期刊论文]-现代制造工程2005(7)5.曲国毅.王建华.廖璇.QUGuo-yi.WANGJian-hua.LIAOXuanMATLAB样条曲线在非圆齿轮离散节曲线拟合中的应用[期刊论文]-机械工程与自动化2007(3)6.侯石华.沈长松.HOUShi-hua.SHENChang-song水力自动翻板闸门的瞬心轨迹及其对稳定性的影响[期刊论文]-水利水运工程学报2007(3)7.谭伟明.陈就.安军.梁燕飞偏心齿轮的共轭非圆齿轮及其渐开线齿廓[期刊论文]-甘肃工业大学学报2002,28(4)8.高雪强.葛敬侠.GAOXue-qiang.GEJing-xiaSolidEdge为平台的椭圆齿轮三维造型设计[期刊论文]-现代制造工程2009(8)9.吴昌林.姜辉.WUChanglin.JIANGHui基于非圆齿轮的非等速比、多作用传动装置的应用研究[期刊论文]-机床与液压2007,35(9)10.曹凤琼.CAOFeng-qiong基于B-spline曲线的非圆齿轮节曲线设计[期刊论文]-机械2009,36(7)引证文献(4条)1.黄忠超,蓝兆辉基于AutoCADVBA的非圆齿轮实体建模[期刊论文]-机械传动2011(12)2.高雪强,葛敬侠SolidWo