2011年注册岩土工程师基础考试培训资料--概率统计1

概率论与数理统计1、随机事件2、随机事件的概率3、条件概率4、事件的独立性一、随机事件的概率1）可以在相同的条件下重复进行；2）每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；3）进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现.(1)随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验1、随机事件一、随机事件及概率(2)样本空间(Space)将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.一、随机事件的概率随机事件:称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件；•基本事件:有一个样本点组成的单点集；•必然事件:样本空间S本身；•不可能事件:空集.(3)随机事件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现.一、随机事件的概率(4)事件间的关系与运算1.包含关系BA事件B发生事件A发生2.和事件BA发生A,B中至少有一个发生3.积事件BA发生A,B同时发生4.差事件BA发生A发生且B不发生5.互不相容A,B不能同时发生6.对立事件A,B有且只有一个发生常用性质:运算规律幂等律:交换律:结合律:分配律:DeMorgan定律:例1：重复进行一项试验，事件且第二次成功”，则事件表示“第一次失败表示（）B.第一次成功且第二次失败C.第一次成功或第二次失败A.两次均失败D.两次均成功2.随机事件的概率1)频率:在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成fn(A).(1)概率的定义及性质频率具有波动性和稳定性,频率的稳定值称为概率2)概率的性质如果随机试验的样本空间中只有有限个元素；且每个基本事件发生的可能性相同.(2)等可能概型（古典概型）我们把这类实验称为等可能概型，又称为古典概型.设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则事件A的概率为：A包含的样本点数P(A)＝k/n＝S中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具.例2.甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率。解（1）401)(4425331ACAEP（2）101)(4425442ACAEP1091011)(1)(22EPEP3、条件概率设A、B是某随机试验中的两个事件，且0AP则称事件B在事件A已发生的条件下的概率为B在A之下的条件概率，记为ABP(1)条件概率称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。0AP定义设A、B是某随机试验中的两个事件，且APABPABP则(2)乘法公式由条件概率的计算公式APABPABP我们得ABPAPABP这就是两个事件的乘法公式．个随机事件，且为，，，设nAAAn210121nAAAP则有12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP这就是n个事件的乘法公式．例3袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率．解：次都未取出黑球取了设nBniiAi，，，次取出白球第21则nAAAB21由乘法公式，我们有nAAAPBP21121213121nnAAAAPAAAPAAPAP1433221nn11n4.两事件的独立性如果事件A是否发生对事件B是否发生在概率上没有任何影响的，即事件A与B呈现出某种独立性．这时有ABPBPABPAPABPBPAPABP由于故有定义:设A、B是两个随机事件，如果BPAPABP则称A与B是相互独立的随机事件．事件独立性的性质：1）如果事件A与B相互独立，而且0APBPABP则2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．3)若随机事件A与B相互独立，则BABABA与、与、与也相互独立.三个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，如果CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP则称A、B、C是相互独立的随机事件．5.伯努利概型如果随机试验只有两种结果,则称该试验为伯努利试验..1,0,0,)(,)(,qpqpqAPpAP则有其中若在一次伯努利实验中由一个伯努利试验独立重复n次形成的试验序列称为n重伯努利试验.在n重伯努利实验中,事件恰好发生k次的概率为knkknqpCpnkb),;(例6：某学生参加注册工程师公共基础考试（全部为四选一的选择题），其中有10道题完全不会做，该学生随机地作出选择，问他能答对6道题的概率是多少？这是一个10重伯努利试验，答对6道题的概率应为6641035(6;10,0.25)0.250.75=0.16216bC二随机变量及其分布1.随机变量概念1.离散型随机变量2.连续型随机变量3.随机变量的数字特征定义:设E是一个随机试验，S是其样本空间．我们称样本空间上的函数为一个随机变量。(1)随机变量二随机变量及其分布1.随机变量概念(2)分布函数定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数}{)(xXPxF称为X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1x2)，有：分布函数的性质1).F(x)是一个不减的函数．.1)(lim)(;0)(lim)(,1)(0).2xFFxFFxFxx且.)(),()0().3是右连续的即xFxFxF2.离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值为并设则称上式或为离散型随机变量X的分布律．定义:如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量离散型随机变量概率分布的性质:例7:从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X为取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．解:X的取值为5，6，7，8，9，10．并且具体写出，即可得X的分布律：1)0-1分布如果随机变量X的分布律为或则称随机变量X服从参数为p的0-1分布．一些常用的离散型随机变量2）二项分布有根据伯努利概型的可能取值为则发生的次数次试验中事件为记发生的概率为每次试验事件重伯努利试验中在,n,,0,1,,,)10(,XAnXppAn显然:0-1分布是二项分布的特例.3）Poisson分布如果随机变量X的分布律为则称随机变量X服从参数为λ的Poisson分布．例8:设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知解：随机变量X的分布律为由已知3、连续型随机变量定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.概率密度f(x)的性质例9:设X是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴．由密度函数的性质常用的连续型随机变量1)均匀分布若随机变量X的密度函数为记作X~U[a,b]分布函数为:均匀分布的分布函数2）指数分布如果随机变量X的密度函数为分布函数为:例10解：令：B={等待时间为10~20分钟}3）正态分布标准正态分布标准正态分布的计算一般正态分布的计算解：例11