第4章--贪心算法

下午1时33分第4章贪心算法1下午1时33分第4章贪心算法贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。贪心算法不从整体最优考虑，作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解.但对有些问题可以快速获得最优解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。2下午1时33分第4章贪心算法本章主要知识点：4.1活动安排问题4.2贪心算法的基本要素4.3最优装载4.4哈夫曼编码4.5单源最短路径4.6最小生成树4.7多机调度问题4.8贪心算法的理论基础3下午1时33分4.1活动安排问题活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的很好例子。该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源的活动。贪心算法提供了一个简单、漂亮的方法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。4下午1时33分4.1活动安排问题5设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。活动i占用区间[si,fi),活动j占用区间[sj,fj),则活动i与活动j是相容的条件是si≥fj或sj≥fi。换句话说，就是后一个活动的开始时间不能在前一个活动结束之前。下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间学术讲座A9:0012:00会议8:0010:00音乐欣赏20:0023:00论文答辩A8:0015:00论文答辩B11:0014:00论文答辩C12:0016:00学术讲座B15:0017:00放映电影18:0021:00演讲比赛16:0018:00报告厅申请登记表xxxx年xx月xx日请给出安排方案要求：使报告厅安排的活动数最多下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间学术讲座A9:0012:00会议8:0010:00音乐欣赏20:0023:00论文答辩A8:0015:00论文答辩B11:0014:00论文答辩C12:0016:00学术讲座B15:0017:00放映电影18:0021:00演讲比赛16:0018:00递增报告厅申请登记表xxxx年xx月xx日下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间学术讲座A9:0012:00会议8:0010:00音乐欣赏20:0023:00论文答辩A8:0015:00论文答辩B11:0014:00论文答辩C12:0016:00学术讲座B15:0017:00放映电影18:0021:00演讲比赛16:0018:00123456789报告厅申请登记表xxxx年xx月xx日下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间会议8:0010:00学术讲座A9:0012:00论文答辩B11:0014:00论文答辩A8:0015:00论文答辩C12:0016:00学术讲座B15:0017:00演讲比赛16:0018:00放映电影18:0021:00音乐欣赏20:0023:00按结束时间递增排序后的表格下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间activity18:0010:00activity29:0012:00activity311:0014:00activity48:0015:00activity512:0016:00activity615:0017:00activity716:0018:00activity818:0021:00activity920:0023:00按结束时间递增排序后的表格下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a7891011121314151617181920212223下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a7891011121314151617181920212223下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a7891011121314151617181920212223下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a7891011121314151617181920212223下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a7891011121314151617181920212223下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a7891011121314151617181920212223下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a7891011121314151617181920212223下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a7891011121314151617181920212223下午1时33分GreedyAlgorithmsCreativeThinking&ProblemSolving问题描述n个需要排队使用某个公共资源的活动。S={a1,……,an}ai在半开区间[si,fi)使用资源，其中si=开始时间，fi=结束时间目标：安排最大可能的非重叠活动集合greedySelector:publicstaticintgreedySelector(int[]s,int[]f,booleana[]){;//n个活动按照结束时间从小到大排序后存放于s[],f[]中intn=s.length-1a[1]=true;intj=1;intcount=1;for(inti=2;i=n;i++){if(s[i]=f[j]){a[i]=true;j=i;count++;}elsea[i]=false;}returncount;}下午1时33分CreativeThinking&ProblemSolving复杂度:(n)如果给定的活动没有事先按结束时间排序，需要先排序，这样整个算法的时间复杂性是？214.2贪心算法的基本要素对于一个具体的问题，怎么知道是否可用贪心算法解此问题，以及能否得到问题的最优解呢?从许多可以用贪心算法求解的问题中看到这类问题一般具有2个重要的性质：贪心选择性质最优子结构性质。下午1时33分4.2贪心算法的基本要素1.贪心选择性质贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题贪心算法通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。22下午1时33分4.2贪心算法的基本要素2.最优子结构性质当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。即此二种算法都要求问题具有最优子结构性质。23下午1时33分4.2贪心算法的基本要素3.贪心算法与动态规划算法的差异贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性质，这是2类算法的一个共同点。但是，对于具有最优子结构的问题应该选用贪心算法还是动态规划算法求解?下面研究2个经典的组合优化问题，并以此说明贪心算法与动态规划算法的主要差别。24下午1时33分4.2贪心算法的基本要素0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?25在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。下午1时33分4.2贪心算法的基本要素背包问题：与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。26这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。下午1时33分4.2贪心算法的基本要素用贪心算法解背包问题的基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。具体算法可描述如下页：27下午1时33分4.2贪心算法的基本要素voidKnapsack(intn,floatM,floatv[],floatw[],floatx[]){Sort(n,v,w);inti;for(i=1;i=n;i++)x[i]=0;floatc=M;for(i=1;i=n;i++){if(w[i]c)break;x[i]=1;c-=w[i];}if(i=n)x[i]=c/w[i];}28算法knapsack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为O（nlogn）。当然，为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。下午1时33分4.2贪心算法的基本要素对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。0-1背包举例：设背包的容量w=6，(Wi，Vi)|(1，3),(3，6),(5，9)为三个物品重量和价值按照贪心算法得最大价值=9，实际上可以得到12.实际在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。第三章使用动态规划方法解决了0-1背包。29下午1时33分4.3最优装载有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中集装箱i的重量为Wi。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。1.算法描述最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解。具体算法描述如下页。30下午1时33分4.3最优装载templateclassTypevoidLoading(intx[],Typew[],Typec,intn)//w数组按单位重量价值非递减排序。{Sort(w,n);for(inti=1;i=n;i++)x[i]=0;for(inti=1;i=n&&w[i]=c;i++){x[i]=1;c-=w[i];}}31下午1时33分4.3最优装载2.贪心选择性质设集装箱依其重量从小到大排序，（x1,x2,..xn