岩石力学第5章-岩体的本构关系与强度理论

第5章岩体的本构关系与强度理论§5.1弹性体的本构关系1、空间问题)(1zyxxE)(1zxyyE)(1xyzzExyxyG1yzyzG1zxzxG1)1(2EG2、平面应力问题3、平面应变问题yxxE1xyyE1xyxyG1yxxE112xyyE112xyxyG1材料进入塑性后的特点：应力应变关系非线性、非一一对应性；应变与应力状态有关，还与变形历史有关。考虑变形历史，研究应力和应变增量的关系----增量理论。1、基本假定：应变偏量增量与应力偏量成正比材料不可压缩材料是理想刚塑性材料满足Mises屈服条件2、应变增量的Lode参数与形式指数⑴Lode试验Lode参数代表Mohr圆心的相对位置§5.2塑性体本构关系2313-=2-1-2313-=2-1-pp23pp12-d=2-1-dddd类似地应力空间的概念Haigh-Westgaard应力空间等效应力应力形式指数（应力状态特征角）在π平面上，等效应力σi与最大主应力σ１投影方向1的夹角213232221i)σ(σ)σ(σ)σ(σ21σi22cos321σ1σ2σ3O123⑵、应力Lode参数与应变增量Lode参数的关系对于一系列的应力和应变增量，可求出相应的Lode参数试验得出结论⑶、应力形式指数与应变增量形式指数的关系μσμdεpddωσσ1σ2σ3e1e3e2ωdε3、Levy-Mises本构方程因为ε0=0，所以eij=εij，εij=ε0δij+eij⑴应变偏量的增量与应力偏量的关系由假定⑴，并参照Page57和Page21⑵材料符合Mises准则，由假定⑶1231230000coscos(120)cos(240)222coscos(120)cos(240)333ppppppidididiiidededesssddd12312332dppppiidedededdsssiS32piSdd⑶在非主应力的情况下应变增量的主轴与应力增量的主轴是重合的且ex=εx，ey=εy上式即为Levy-Mises本构关系讨论：①已知三个正应力，可求出其正应力的偏量（Page30)因而可求出应变偏量增量之间的比值，还不能求出其具体值②如果已知主轴方向应变偏量的增量，可以求相应方向应力偏量③若再给出平均应力σ0，则可求出三个主应力④适用条件：弹性变形可忽略的金属加工中。32222ppppyxyyzxzzxixyzxyyzzxidedddededddsss4、Prandtl-Reuss本构方程总应变等于弹性与塑性应变之和，其增量表示为展开以后：Mises屈服条件变换形式12epijijijpijijdedededsdeG222xyxxxxyxyyyzyyyzyzzzxzzzxzxddsdesdddGGdsddesdddGGdsddesdddGG2222222()()()6()2xyyzzxxyyzzxSssssss22222223()xyzxyyzzxxyyzzxSsssssssss（※）将上式改写成如下形式等式两边取微分sx、sy、sz分别乘以（※）式左三式τxy、τyz、τzx分别乘以（※）式右三式22222223()xyzxyyzzxxyyzzxSsssssssss2222222211()()23xyzxyyzzxSsssK2220xxyyzzxyxyyzyzzxzxsdssdssdsddd得出六式后相加222xyxxxxyxyyyzyyyzyzzzxzzzxzxddsdesdddGGdsddesdddGGdsddesdddGG2222()xxyyzzxyxyyzyzzxzxKGdGsdesdesdeddd令上式=dw于是可得Prandtl-Reuss本构方程2222()xxyyzzxyxyyzyzzxzxKGdGsdesdesdeddd22dwKd22322SdwdwdK222222332233223322xyxxxxyxySSyyzyyyzyzSSzzxzzzxzxSSddsdwdwdesdGGdsddwdwdesdGGdsddwdwdesdGG例题，Page1035、Hencky-伊柳辛理论⑴应变增量成比例增长Hencky提出，伊柳辛完善之dε1:dε2:dε3=c1:c2:c3因而有积分得利用初始条件确定积分常数当ε1=0，则ε2=ε3=0所以D1=D3=0所以112233223311,dcdcdcdcdcdc，231131311=c=ccDDcc２，23123::=c:c:c１应变强度表达式为（等效应变）增量形式上式积分后得根据初始条件确定积分常数Dε1=ε2=ε3=0时，εi=0,因而D=0比例变形的结果：2221223312222233111112()()()32=1-)-)-1)3idddddddccccdcccc(((22222331111122212233121-)-)-1)32=()()()3iccccDccccD(((2221223312()()()3iiid⑵各应力分量按比例加载（成比例变形时的必要条件）Prandtl-Reuss本构方程变为积分后得将代入上式000dijijiiijijscscssdc，，0022ijijijijijdsdesdGsdcscdG0()2ijijcescdG32piidd因而得00003()2231()22piijijipiijicesGscGc000003()223()223()22piijijipiijipiijidcescGdcscGcdcsG31()22piijijiesG令3322ppiiiiGG，有所以：12ijijesG这就是Hencky本构方程，它包括了弹性变形与塑性变形12epijijijijeeesG⑶应变偏量与应力偏量成比例主应力、主应变偏量关系应变强度（参见公式（1-29）page20）所以有222yxyyzxzzxxyzxyyzzxeeesss123123eeesss2221223312221223312()()()32=()()()3223iieeeeeessssss32ii伊柳辛理论可以写成（弹塑性共有）弹性部分332332332iixxxyxyiiiiyyyzyziiiizzzxzxiieseses121212xyeexxxyyzeeyyyzeezxzzzxesGGesGGesGG塑性部分（总应变偏量与弹性应变偏量之差）3311()()223311()()223311()()22ppiixxxyxyiippiiyyyzyziippiizzzxzxiiesGGesGGesGG式中关键是等效应变与等效应力的比值⑷形变理论应满足的条件加载应为单调增加，尽量不中断，更不能卸载材料是不可压缩的应力应变曲线具有幂化形式小变形（弹性与塑性变形为同一量级）⑸Davis-儒柯夫试验试验材料—铜材拉力与内压比值k不同（同一试件k为常数）做出σi～εi曲线结论：类似单轴简单加载E’----超过弹性极限后的比例系数例题：1～4，page113～118'iiE§5.3粘性体的本构关系5.3.1岩石的蠕变曲线及其特征一、流变的概念岩石的流变性是指岩石应力应变关系随时间而变化的性质。两种特殊形式蠕变应力松弛蠕变现象——应力保持恒定，应变随时间而增大。松弛现象——应变保持恒定，应力随时间而逐渐减小弹性后效——加载或卸载，弹性应变滞后于应力的现象二、岩石的蠕变性能1、岩石的蠕变特性通常用蠕变曲线（ε-t曲线）表示岩石的蠕变特性。（1）稳定蠕变：岩石在较小的恒定力作用下，变形随时间增加到一定程度后就趋于稳定，不再随时间增加而变化，应变保持为一个常数。稳定蠕变一般不会导致岩体整体失稳。（2）非稳定蠕变：岩石承受的恒定荷载较大，当岩石应力超过某一临界值时，变形随时间增加而增大，其变形速率逐渐增大，最终导致岩体整体失稳破坏。（3）岩石的长期强度：岩石的蠕变形式取决于岩石应力大小，当应力小于某一临界值时，岩石产生稳定蠕变；当应力大于该值时，岩石产生非稳定蠕变。则将该临界应力称为岩石的长期强度。2、岩石的典型蠕变曲线及其特征典型的蠕变曲线可分为4个阶段：(1)瞬时弹性变形阶段（OA）：E00(2)一次蠕变阶段（AB）：（瞬态蠕变段）(3)二次蠕变阶段（BC）：（等速或稳定蠕变段）(4)三次蠕变阶段（CD）：（加速蠕变段）220ddt022tdd220ddt蠕变变形总量：ε=ε0+ε1(t)+ε2(t)+ε3(t)式中：ε0----瞬时弹性应变；ε1(t)，ε2(t)，ε3(t)----与时间有关的一、二、三次蠕变εv----粘塑性应变，εQ----粘弹性应变。3、岩石的蠕变曲线类型类型1：稳定蠕变。曲线包含瞬时弹性变形、瞬态蠕变和稳定蠕变3个阶段（压应力10MPa，12.5MPa）类型2：典型蠕变。曲线包含4个阶段（压应力15MPa，18.1MPa）类型3：加速蠕变。曲线几乎无稳定蠕变阶段，应变率很高（压应力20.5MPa，25MPa）5.3.2岩石的流变模型岩石的流变本构模型：用于描述岩石应力－应变关系随时间变化的规律。它是通过试验－理论－应用证实而得到的。本构模型分类：经验公式模型：根据不同试验条件及不同岩石种类求得的数学表达式，通常采用幂函数、指数函数、对数函数的形式表达。组合模型：将岩石抽象成一系列简单元件（弹簧、阻尼器、摩擦块），将其组合来模拟岩石的流变特性而建立的本构方程。(属于物理模型，亦属于微分模型)积分模型：是在考虑施加的应力不是一个常数时的更一般的情况下，采用积分的形式表示应力－应变－时间关系的本构方程。一、经验公式模型1、幂函数型：DtBtelg)()10()(nAttn式中：A、n：经验常数，取决于应力水平、材料特性及温度条件。2、对数型：式中：εe为瞬时弹性应变；B，D取决于应力性质及水平)(exp1)(tfAt3、指数型：式中：A为试验常数，f(t)是时间t的函数。二、组合模型（一）流变模型元件1、弹性介质及弹性元件（虎克体）：dtdEdtdE弹性介质性质：①具有瞬时变形性质②ε＝常数，则σ保持不变，故无应力松弛性质③σ＝常数，则ε也保持不变，故无蠕变性质④σ＝0（卸载），则ε＝0，无弹性后效。可见，σ、ε与时间t无关。2、粘性介质及粘性元件（牛顿体）dtdctt0加载瞬间，无变形即当t=0时,σ=σ0,ε=0,则c=0粘性介质性质：（1）当σ＝σ0时，说明在受应力σ0作用，要产生相应的变形必须经过时间t，无瞬时变形，粘性元件具有蠕变性质；00t（2）σ＝0（卸载），则ε＝常数，故