2016届高三数学月考理数试题及答案

第1页共13页“四校”2015—2016学年度高三第一次联考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合11,2,,32A，2,ByyxxA，则AB（）．A．12B．2C．1D．2、在复平面内，复数312izi的共轭复数的虚部为（）．A．35iB．35iC．35D．353、下列命题中的假命题是（）．A．2,log0xRxB．0,2xRxC．0tan,xRxD．,30xxR4、若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是（）．A．4B．5C．6D．75、已知1122loglogab，则下列不等式一定成立的是（）．A．11abB．11()()43abC．ln()0abD．31ab开始2nn否n＝3n+1n为偶数k＝k＋1结束n＝5，k＝0是输出kn=1?否是第2页共13页6、下列函数既是奇函数，又在区间[1,1]上单调递减的是（）．A．()sinfxxB．2()ln2xfxxC．()|1|fxxD．1()()2xxfxee7、已知a是实数，则函数axaxfsin1)(的图像不可能．．．是（）．A.B．C.D.8、已知点(5,4)Q，若动点(,)Pxy满足2202010xyxyy，则PQ的最小值为（）．A．722(B．29C．5D．以上都不正确9、已知实数4,,9m构成一个等比数列，则圆锥曲线221xym的离心率为（）．A．306B．7C．306或7D．56或710、某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）．A．5B．4C．3D．2第3页共13页11、定义在R上的奇函数()fx，当0x时，13log(1),0,2()14,2,xxfxxx，则关于x的函数()()(01)Fxfxaa的所有零点之和为A．31aB．13aC．31aD．13a12.已知函数1ln1)(xxxf,*)()(Nkxkxg，若对任意的1c,存在实数ba,满足0abc，使得)()()(bgafcf，则k的最大值为()A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13、在等比数列na中，81a，534aaa，则7a．14、设A＝7254361634527777773333,3331CCCBCCC，则AB=15、已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为.16、设,xy为实数，若2241,xyxy则2xy的最大值是_________.第4页共13页三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.(本题满分12分)在ABC中，角CBA、、的对边分别是cba、、满足222.bcbca（1）求角A的大小；（2）若等差数列{}na的公差不为零，且1cos1Aa，且842aaa、、成等比数列，求14nnaa的前n项和nS.18、(本题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中,xy的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求的分布列及其数学期望．第5页共13页19．(本小题满分12分)在三棱柱111ABCABC中，侧面11ABBA为矩形，2AB，122AA，D是1AA的中点，BD与1AB交于点O，且CO平面11ABBA.(1)证明：1BCAB；(2)若OCOA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12412xyC，设00(,)Rxy是椭圆C上任一点，从原点O向圆2200:8Rxxyy作两条切线，切点分别为,PQ.（1）若直线,OPOQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线,OPOQ的斜率都存在，并记为12,kk，求证：12210.kk21.（本小题12分）设函数()()2lnfxaxxaR=--?.（I）若()()(),fxefe在点处的切线为0,xeyba-+=求，b的值；（II）求()fx的单调区间；（Ⅲ）若()xgxaxe=-，求证：在0x时，()()fxgxBACD1A1B1CO第6页共13页请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，=4AC，BODA，OB与⊙O相交于点E.（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AOAD.AEODCB（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为1(2xttyt为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆2C的方程为sin32cos2．（Ⅰ）求直线1C的普通方程和圆2C的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线1C和圆2C的交点为A、B，求弦AB的长．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()|||3|,fxxaxaR．（Ⅰ）当1a时，解不等式()1fx；（Ⅱ）若[0,3]x时，()4fx，求a的取值范围．第7页共13页“四校”2015—2016学年度高三第一次联考理科数学评分标准一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．1814．12815．13p16．2105三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、【解】(1)∵222bcabc，∴2221222bcabcbcbc.…………1分∴1cos2A.…………2分又(0,)A…………3分∴3A.…………4分(2)设{}na的公差为d，由已知得112cosaA，…………5分且2428aaa.∴2111(3)()(7)adadad．…………6分又0d,∴2d.∴2nan.…………7分∴14111(1)1nnaannnn.…………9分∴1111111(1)()()()223341nSnn…………10分1111nnn…………12分题号123456789101112答案CDBBBBCCCCBA第8页共13页18、【解】（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n，20.0045010y，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x．…………3分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100]有2人，共7人．…………4分抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数的可能取值为，…………5分则12523751(1)357CCpC，…………6分215237204(2)357CCpC，…………7分3537102(3)357CpC．…………8分所以，的分布列为123174727所以，142151237777E．…………12分19、【解】(1)由题意2tan2ADABDAB，112tan2ABABBBB，…………1分又0ABD，12ABB，1ABDABB，1112ABBBABABDBAB，2AOB，1ABBD.…………3分又11COABBA平面，111ABABBA平面1ABCO，…………4分BDCOO，,COBDCBD平面…………10分第9页共13页1ABCBD平面，…………5分又BCCBD平面，1ABBC.…………6分(2)如图，分别以1,,ODOBOC所在直线为,,xyz轴，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，…………7分则2326(0,,0),(,0,0)33AB，236(0,0,),(,0,0)33CD,…………8分26232323623(,,0),(0,,),(,0,)333333ABACCD，设平面ABC的法向量为(,,)nxyz=，则00nABnACì=ïíï=î，即26230332323033xyyz，令1y，则1z，22x，所以2(,1,1)2n.…………10分设直线CD与平面ABC所成角为，则6232(,0,)(,1,1)332sincos,||||1022CDnCDnCDn62230()(1)1532355，…………11分所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为155.……………………12分第10页共13页20、【解】（1）由题圆R的半径为22,因为直线,OPOQ互相垂直，且与圆R相切，所以24ORr，即220016,xy①…………1分又00(,)Rxy在椭圆C上，所以22001,2412xy②…………2分由①②及R在第一象限，解得0022,xy…………3分所以圆R的方程为：2222228xy…………4分（2）证明：因为直线12:,:OPykxOQykx均与圆R相切，所以1002122,1kxyk…………5分化简得222010010(8)280,xkxyky…………6分同理有222020020(8)280,xkxyky所以12,kk是方程2220000(8)280xkxyky的两个不相等的实数根，所以2012208.8ykkx…………8分又因为00(,)Rxy在椭圆C上，所以22001,2412xy即2200112,2yx…………10分所以2012201412,82xkkx…………11分即12210.kk…………12分第11页共13页21、【解】（I）∵()()2lnfxaxxaR=--?∴11'()axfxaxx-=-=…………1分又()()(),fxefe在点的切线的斜率为e1∴11'()aefeee∴ea2…………2分∴切点为)1,(e把切点代入切线方程得:eb2…………3分(Ⅱ)由（Ⅰ）知：11'()(0)axfxaxxx-=-=①当0a时，'()0fx在(0,)上恒成立()fx在(0,)上是单调减函数…………4分②当0a时，令'()0fx解得：1xa