FEM结构动力学问题有限元解读

有限元方法与应用结构动力学问题有限元结构动力学：研究结构在动力荷载作用下的动力反应。地震荷载风荷载：Tacoma大桥风毁录像动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变化。输入input输出Output结构体系静力响应静荷载位移内力应力刚度、约束杆件尺寸截面特性大小方向作用点结构体系动力响应输入input输出Output动荷载动位移加速度速度动应力动力系数随时间变化质量、刚度阻尼、约束频率、振型大小方向作用点时间变化数值时间函数结构动力体系动载荷（又称动力分析）固有特性分析响应分析固有频率振型位移响应速度响应加速度响应动应变动应力固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应；响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。结构动力学问题的有限元法的实质就是将一个弹性连续体的振动问题，离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。其基本原理和分析方法类同静力学的有限元法，按杆梁、薄板等不同结构进行分析。不同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中除需形成刚度矩阵外，还需形成质量矩阵，阻尼矩阵；在整体分析中，不仅求动力响应，还有求解特征值问题（结构振动的固有频率及相应的振动型（或模态））从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其它的计算步骤和静力分析是完全相同的。关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法。直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对运动方程式进行变换。动力学有限元法的特点一、载荷特点结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。这是与静力分析的一个根本区别。二、位移特点1、节点位移{q}不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以节点位移{q}作为基本未知量。2、节点具有速度加速度。qq和3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移,一般仍采用与静力分析相同的形函数[N]。当单元数量较多时，上述插值可以得到较好的插值精度。4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t变化的函数。edNq=eeBqDBq==5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。根据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后结构仍处于平衡状态，因此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。整个结构的平衡方程为：式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶常微分方程组。MqCqKqRt动态分析有限元法的一般步骤1.结构离散：该步骤与静力分析基本相同2.单元分析：单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵（刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵），形成单元特性方程。在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移，则单元内也产生相应的虚位移和虚应变。单元内产生的虚应变能为:deqTVUdV单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力和阻尼力，其中ρ为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：ddVddVTTTvscVATTVVWdPdVdPdAdPdddVdddV式中，{Pv}、{Ps}、{Pc}分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态集中力；V为单元面积；A为单元面积。UWeeeedNqdNqdNqBq由于且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有,eedNqBq根据虚位移原理，有代入经整理，可得单元运动方程为eeeeeeemqcqkqRt式中eTVkBDBdV分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的特性矩阵。称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节点移置的结果。eTVmNNdVeTVcNNdVeTTTvscVARtNPdVNPdANP在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。四、固有特性分析结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参数定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等。固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要依据。由于固有特性与外载荷无关，且阻尼对固有频率和振型影响不大，因此可通过无阻尼自由振动方程计算固有特性。jtqe0MqKq式中，ω为简谐振动圆频率；{Φ}为节点振幅列向量。由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此上式的解可设为将解代入振动方程中，同时消去因子ejωt，可得12,,n20KM振型{Φi}是结构按频率ωi振动时各自由度方向振幅间的相对比例关系，它反映了结构振动的形式，并不是振幅的绝对大小。上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题可以求出n个特征值和相对应的n个特征向量。其中特征值ωi(i=1,2,…..,n)就是结构的i阶固有频率，特征向量{Φi}i(i=1,2,…..,n)就是结构的i阶模态振型。22121,,,n无阻尼自由振动方程为：OKM是一个常系数齐次线性常微分方程组，其解的形式为：tsin0带入自由振动方程得：OMK02上式是齐次线性方程组，有非零解的条件是：02MK如果[K]和[M]的阶数是n，则02MK是的n次方程，2称其为自由振动特征方程，通过它可解出n个特征值，将这些特征值OMK02再带入可解出n个特征向量0第i个、合称第i个特征对，为结构的第i个固有频率,ii0i为结构的第i个振型i0将按从小到大的顺序排列：in21001其中称作基本频率，相应的振型称作基本振型。1对于上式可以采用广义雅克比法，拟迭代法、子空间迭代法等数值方法直接求出特征值和相应的特征向量。OMK02式在数学上称为广义特征值问题，常记作：020MK1）当[K]和[M]是实系数对称矩阵时，其特征值一定是实数，且特征向量也是实向量。2）如果[K]为正定矩阵，则特征值一定是正实数，如果[K]为半正定，则特征值为非负实数，且特征值为零的个数等于结构刚体位移自由度的个数。如果集中质量矩阵为半正定，其对角线上有r个零元素，则n个特征值的最后r个为无穷大。3）振型的规格化（三种方法）：a）以第一个元素为1规格化；b）以振型中的最大元素为1规格化；2、特征值和特征向量的性质3）振型的规格化（三种方法）：a）以第一个元素为1规格化；b）以振型中的最大元素为1规格化；c）以矩阵[M]、[K]进行规格化，使振型满足：1iTiM2iiTiK这时振型向量的各个元素应除以iTiM2、特征值和特征向量的性质4）振型的正交性－广义特征方程的不同特征值所对应的特征向量具有正交性。对于按第三种方法规格化了的特征向量，其关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，可表达为：ijjTiMijijTiK2jijiij102、特征值和特征向量的性质4）振型的正交性设IMKTT)3,2,1()(2nidiagin21则特征向量的正交性也可表示为：五、响应分析响应分析的目的是计算结构在动载荷作用下，节点位移、速度和加速度的变化规律。因此响应分析的任务就是求解二阶常微分方程组，求解主要有1、振型叠加法根据结构振动理论，在动载荷作用下，结构动态响应可以表示为其各阶主模态振型的线性叠加，即2、直接积分法是一种纯粹的数值方法。连续时间区域离散为n＋1离散点时间间隔T/n每个时间间隔上的状态向量xxxxqnn2211瞬态分析-术语和概念求解方法求解运动方程直接积分法模态叠加法隐式积分显式积分完整矩阵法缩减矩阵法完整矩阵法缩减矩阵法系统的动力响应（振型叠加法）振型叠加法是在积分运动方程之前，利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为n个互不耦合的方程，对这种方程进行解析或者进行数值积分。当采用数值积分时，对于每个方程可以采取各自不同的时间步长，即对于低阶振型可以采取较大的时间步长。当实际分析的自然时间较长，同时只需要少数较低阶的振型结果时，采用这种方法具有很大的优势。此时，求解分为两个步骤(1)求解系统的固有频率和固有振型；(2)求解系统的动力响应。jijiKjijiMnMKKaaMttaijTijTinnn0010,,,,,,00sin221222212120个特征解，，结果是和求解该方程可以得到得到代入这样的固有振型称为正则振型MΦKΦΩKΦΦIMΦΦΩΦTTnn则定义222212100系统的动力响应（振型叠加法）1.位移基向量的变换niiixtΦxta1引入变换a(t)看作i的线性组合，i可以看作是广义的位移基向量，xi是广义位移。从数学上看，是将位移向量从以有限元系统的节点位移为基向量的n维空间转换到以i为基向量的n维空间。此时，代入运动方程并左乘T，注意正交性，可转为新的基向量下的运动方程，RQΦΩxxCΦΦxTTnnCΦΦ200222211TjijiCiijTi02系统的动力响应（振型叠加法）i阻尼比nitrtxtxtxiiiiiii,,2,122系统的动力响应（振型叠加法）2.求解单自由度系统振动方程可以采用直接积分方法，稍后提到。3.振型叠加得到系统响应niiixta1系统的动力响应（振型叠加法）•在振型叠加法中，将系统位移转换到以固有振型为基向量的空间，这对系统的性质并无影响，而是以求解广义特征值为代价，得到n个单自由度的运动方程。•振型叠加法中对于n个自由度系统运动方程的积分，比对联立方程组的直接积分节省计算时间。需要注意的是(1)有限元高频成分对于系统的实际影响较小，所以通常求前p个特征解的响应；(2)有限元高阶特征解与实际情况相差较大，因此，用有限元求高阶特征解的意义不大，此时，需要采用其它方法。•对于非线性系统通常采用直接积分法，此时，无法采用振型叠加法。•对于一般的n个自由度系统，如果只积分p个单自由度系统的运动方程，即