8.2018年普通高等学校招生全国统一考试

2018年普通高等学校招生全国统一考试(八）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（2017广东湛江二模）己知x、y∈R，i是虚数单位，若x+yi与互为共轭复数，则x+y=（D）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解析：==，x+yi与互为共轭复数，∴x=，y=．则x+y=2．故选D．2.（2017陕西咸阳三模）下列命题中真命题的个数是（D）①函数y=sinx，其导函数是偶函数；②“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题；③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．A．0B．1C．2D．3解析：对于①，函数y=sinx，其导函数是y=cosx，为偶函数，①正确；对于②，“若x=y，则x2=y2”是真命题，则它的逆否命题也为真命题，②正确；对于③，“x≥2”时，不等式“x2﹣x﹣2≥0”成立，即充分性成立；“x2﹣x﹣2≥0”时，x≤﹣1或x≥2，必要性不成立；∴是充分不必要条件，③错误；对于④，命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”，④正确．综上，正确命题的序号是①②④，共3个．故选D．3.（2017湖南衡阳县高考模拟）某市国庆节7天假期的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．上述判断中错误的个数为（C）A．1B．2C．3D．4解析：7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166．对于①，日成交量的中位数是26，故错；对于②，日平均成交量为：，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．故选C．4.（2017云南省高考二模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（D）A．B．C．D．解析：如图，由题意可得：AB=6，弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米．解得矢=1，或矢=﹣7（舍），设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则，解得d=4，r=5，∴cos∠AOD==，∴cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1=﹣1=．故选D．5.（2017北京市丰台区一模）一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（A）A．aB．bC．cD．d解析：根据题意：若甲同学猜对了1﹣b，则乙同学猜对了，3﹣d，丙同学猜对了，2﹣c，丁同学猜对了，4﹣a，根据题意：若甲同学猜对了3﹣c，则丁同学猜对了，4﹣a，丙同学猜对了，2﹣c，这与3﹣c相矛盾，综上所述号门里是a，故选A．6.（2017安徽安庆二模）定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．解析：∵f（x+1）=f（x﹣1），∴函数f（x）为周期为2的周期函数又∵log232＞log220＞log216，∴4＜log220＜5。∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1。∴f（﹣log2）=﹣，故f（log220）=．故选D．7.（2017湖南省郴州市四次质量检测）已知向量，且，则等于（B）A.B.C.D.B【解析】因为，所以2m-2=0,解得m=1。.5)(,52),5,0(2baaabaababa所以，选B.8.（2017内蒙古百校联盟联合模拟）函数f（x）=（﹣1）•sinx的图象大致形状为（A）A．B．C．D．解析：∵f（x）=（﹣1）•sinx，∴f（﹣x）=（﹣1）•sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=（﹣1）•sinx=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D，当x=2时，f（2）=（﹣1）•sin2＜0，故排除B，故选A。9.（2017福建泉州模拟）图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（C）A．32πB．48πC．50πD．64π解析：由三视图可知该几何体是一个底面是矩形的四棱锥，记该几何体的外接球球心为O，半径R=OA，则PA=×=，OP=R﹣，所以OA2=OP2+AP2，又因为OP2==，所以R2=+，解得R=，所以球的面积为S=4π×R2=4π×=50π，故选C．10.（2017湖南邵阳二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，若=2，则|AF|等于（B）A．B．1C．2D．3解析：由抛物线的定义可知|MF|=x0+．∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|MA|，∴|MA|=2（x0﹣），∵=2，∴|MF|=|MA|，∴x0=p，∴2p2=8，∴p=2，∴|AF|=1．故选B．混合肥料，11.(2017广东省清远市清新一中一模）一个化肥厂生产甲、乙两种生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7000元，那么可产生的最大利润是（C）A．29000元B．31000元C．38000元D．45000元解析：设x、y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．由题意，得．工厂的总利润z=12000x+7000y。由约束条件得可行域如图，由，解得：，所以最优解为A（2，2）。则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．故选C．12.（2017安徽省黄山市二模）已知圆C：x2+y2=1，点P为直线+=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点（B）A．B．C．D．解析：因为P是直线+=1的任一点，所以设P（4﹣2m，m），因为圆x2+y2=1的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（2﹣m，），且半径的平方是r2=，所以圆C的方程是（x﹣2+m）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m﹣4）x﹣my+1=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m﹣4）x﹣my+1=0，即m（2x﹣y）+（﹣4x+1）=0，由得x=，y=。所以直线AB恒过定点（，），故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）解析：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4。答案：4.14.（2017广西柳州一模）已知tanα=2，则=．解析：由==，∵tanα=2，∴=．答案：﹣1．15.（2017河南洛阳二模）如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC=BD．若OA=1，∠AOB=120°，则的取值范围是．解析：以OA为x轴，O为原点建立如图坐标系，则∵半径OA=1，且∠AOB=120°，∴弧AMB的中点M坐标为（，）求得BO方程为：y=﹣x，设C（1﹣m，0），则D（﹣m，m），（0≤m≤1）∴=（﹣m，﹣），=（﹣m﹣，m﹣）因此，•=（﹣m）（﹣m﹣）﹣（m﹣）=m2﹣m+=（m﹣）2+∴当m=时，•有最小值为；当m=0或1时，•有最大值为答案：16.．（2017江苏盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是．解析：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值Vmax==．答案：4．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本小题满分12分）（2017湖南长沙一模）已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，设{bn}的前n项和为Sn．求最小的正整数n，使得．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，依a2+a3=8，a5=3a2，有，解得a1=1，d=2，从而{an}的通项公式为。（2）因为==﹣，所以=．令，解得n＞1008，故n的最小值为1009．18.（本小题满分12分）（2017福建龙岩二模）已知边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示，将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示．（1）求证：△PAB为直角三角形；（2）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示，∴BE⊥DC，AB∥CD，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示．在翻折过程中，∠ABE=90°不变，∴在△ABP中，∠ABP=90°，∴△PAB为直角三角形．解：（2）由（1）得∠BED=∠ABE=90°，∴DE⊥BE，以E为原点，ED为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，，0），P（0，0，1），D（1，0，0），E（0，0，0），=（﹣1，0，1），=（1，，0），=（0，0，1），=（1，0，0），设平面ADP的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），平面PDE的法向量=（1，0，0），设二面角A﹣PD﹣E的平面角为θ，则cosθ=