线性代数(同济六版珍藏版)

线性代数同济六版一元一次方程ax=b一元二次方程二元、三元线性方程组行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性矩阵的特征值和特征向量一元一次方程ax=b当a≠0时，bax110x2x22x3x221212312二元（三元）线性方程组例解二元线性方程组14x71得于是2x16x242x72类似地，可得于是第一章行列式§1二阶与三阶行列式,21122211212221aaaabaabx1)(1bxaxabxaxa22221211212111线性方程组时，得当0aaaa1221211乘第二个方程乘第一个方程的两边，即用1222aa212221112212211baabxaaaa)(消去x2,的两边后,两式相加得消元法记22211211aaaa22211211aaaa称它为二阶行列式，于是，线性方组（1）的解可以写为21122211aaaa定义为类似地，可得.aaaaabbax211222112112112,21122211212221aaaabaabx1333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa类似的，我们还可以定义三阶行列式为3221312312332211aaaaaaaaa13222112112211112222112112221211aaaababaxaaaaababx,n阶排列共有n!个.排列的逆序数§2全排列及其逆序数把1,2,……,n排成一列，称为一个n阶全排列.奇排列逆序数为奇数的排列.在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有例1排列12……n称为自然排列，所以是偶排列.一个逆序.偶排列一个排列中所有逆序的总数.逆序数为偶数的排列.它的逆序数为0，三阶排列共有3×2×1=3!个.321jjj例2排列32514的逆序数为t(３２５１４)例3排列n(n−1)…321的逆序数为t(n(n−1)…321)=0+1+2+…+(n−1)=21nn排列32514为奇排列.＝０＋１＋０＋３＋１＝5333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa三阶行列式定义为3221312312332211aaaaaaaaa13§3n阶行列式的定义三阶行列式是3!=6项的代数和.321321j3j2j1jjjtaaa1)()(321j3j2j1aaa123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3三阶行列式可以写成3213212331232221131211j3j2j1jjjt33aaaaaaaaaaaa1)()(,的一个排列，，是其中321jjj321.jjjjjjt321321的逆序数是排列)(定义由n2个数组成的数表，的一个排列，，，，是其中n21jjjn21.jjjjjjtn21n21的逆序数是排列)(n21n21njj2j1jjjtaaa1......)()(nn2n1nn22221n11211a...aaa...aaa...aa称为n阶行列式,项的代数和，即规定为所有形如记成nn2n1nn22221n11211a...aaa...aaa...aa例1下三角行列式333231222111aaa0aa00a332211aaan21n21njj2j1jjjtaaa1......)()......(例2下三角行列式nn2211aaann2n1n222111a...aa0...aa0...0a例3三阶行列式321321例5n阶行列式n21n2121nn1)()(4321例4四阶行列式4321经对换a与b,得排列,m1k1babbaa1babbaatbbabaatm1k1m1k1)()(所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.,11mkbbabaa§4对换对换定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证先证相邻对换的情形.那么设排列1cbcbabaan1m1k1经对换a与b排列，得排列2cacbbbaan1m1k1相邻对换再证一般对换的情形.设排列事实上，排列（1）经过2m+1次相邻对换变为排列（2）.np2p1pppptn21n21aaaD1)()(定理2n阶行列式也可以定义为根据相邻对换的情形及2m+1是奇数，性相反.所以这两个排列的奇偶53142解t(53142)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=853412求这两个排列的逆序数.经对换1与4得排列例1排列1.选择i与k使（1）25i1k成偶排列;（2）25i1k成奇排列.项，是否为四阶行列式中的和2431431244332114aaaaaaaa2.若是，指出应冠以的符号3.计算n阶行列式练习111是四阶，不是四阶行列式中的项2431431244332114aaaaaaaa2.4331241224314312aaaaaaaa21nn11113)()(.43312412433124123433124122413taaaaaaaa1aaaaa1行列式中的项.1.（1）i=4,k=3时，即排列25413为偶排列；（2）i=3,k=4时，即排列25314为奇排列.性质1性质2§5行列式的性质推论两行（列）相同的行列式值为零.数k,推论行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号性质4性质3式等于零.等于用数k乘此行列式.行列式与它的转置行列式相等.互换行列式的两行（列），行列式变号.行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列外面.nnnj2n1nn2j22221n1j11211nnnj2n1nn2j22221n1j11211acaaacaaacaaabaaabaaabaa若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，nnnjnj2n1nn2j2j22221n1j1j11211acbaaacbaaacbaa)()()(例如则此行列式等于两个行列式之和.性质5把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另nnnjnjni1nn2j2j2i221n1j1j1i111aakaaaaakaaaaakaaannnjni1nn2j2i221n1j1i111aaaaaaaaaaaa一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.性质6,nnn2n12n22121n2111aaaaaaaaa,aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211设行列式DT称为行列式D的转置行列式.记那么DDT222cbacba1111例222cc1bb1aa1=TD,bbbbbbbbbDnn2n1nn22221n112111设行列式D=det(aij)互换第i,j(i＜j)两行,得行列式性质2的证明33332222dcbadcbadcba11112例33332222dcba1111dcbadcba其中，当k≠i,j时,bkp=akp;当k=i,j时，bip=ajp,,bjp=aip,nji1nji1npjpipp1t1bbbbpppp1D)()(其中,1…i…j…n是自然排列,)()()()(11ppppppppnji1nij1tt所以nij1nij1npjpipp1t1aaaappppD1)()(nji1nji1npipjpp1taaaapppp1)()(nij1nji1npjpipp1taaaapppp1)()(于是=−D333231232221131211aaakakakaaaa333231232221131211aaaaaaaaak，若例121013201D4121013402则D21210132012)()(例3333231232221131211aaaaaakakaka333231232221131211kakakaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaak132141131132010131r2-r1例5=422510211=0例6例725422251021142251021125205102115021011343212101D解r2-r1,r3-3r1,r4-r1例8计算行列式7120641022202101Dr2÷2r3+r2,r4-2r29300530011102101271206410111021012r4÷(-3),r3←→r4r4+3r3530031001110210164000310011102101624dc3b6a10cb3a6ba3adc2b3a4cb2a3ba2adcbacbabaadcbaDcb3a6ba3a0cb2a3ba2a0cbabaa0dcbaDba3a00ba2a00cbabaa0dcba例9计算行列式解从第4行开始，后行减前行得，2334rrrra000ba2a00cbabaa0dcba34rr4a例10计算行列式axxxxaxxxxaxx3ax3ax3ax3aDaxxxxaxxxxaxxxxaD解各行都加到第一行，axxxxaxxxxax1111x3a)(xa0000xa0000xa01111x3a)(3xax3a各行都减第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)§6行列式按行（列）展开在n阶行列式det(aij)中，把元素aij所在的第i行和第j列Aij=(−1)i+jMij记成Mij,称为元素aij的余子式.称它为元素aij的代数余子式.划去,剩下的(n−1)2个元素按原来的排法构成的n−1阶行列式,记例1三阶行列式323231232221131211aaaaaaaaa中元素a23的余子式为3231121123aaaaM元素a23的代数余子式为23233223MM1A)(例2四阶行列式103032x115201101中元素x的代数余子式为1001501111A2332)(=5ji0AaAaAanjnij2i2j1i1行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元或ji0AaAaAajnin2j2i1j1i行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应.n,,2,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i或.n,,2,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1的代数余子式乘积之和，即素的代数余子式乘积之和等于零.即定理3推论引理在行列式D中，如果它的第i行中除aij外其余元素都为0,即D=aijAijnnnj1nijn1j111aaa0a0aaaD那么nn2n1nn2222111aaaaaa00aD证明先证aij位于第1行，第1列的情形，即由行列式的定义，得n21n21npp2p1ppptaaaD1)(n2n2npp2ppt11aaa1)(n211n21n2n2npp2p11pppptnpp211pp1taaaaaa11)()(1111Ma111