线性代数4-4―基础解系

(1)0().mnnAxARAnAn含个未知量的齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩的列向量组的秩有解判定定理§4线性方程组的解的结构.)()()()(时有无穷多个解当时有唯一解；当且：nBRARnBRAR).()()2(BRARAbxAnnm增广矩阵的秩的秩系数矩阵有解方程组个未知量的非齐次线性含?有无穷多解(1)0().mnnAxARAnAAn含个未知量的齐次线性方程组只有零解系数矩阵的秩（列满秩）的列向量组的秩=一、齐次线性方程组解的结构?11112212112222112200(2)0nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxmnmmnaaaaaaaaaA1121222111211系数矩阵12nxxxx未知矩阵(2)Axo满足齐次线性方程组方程组的解向量12(,,,)Tiiini1122,,,,iinnixxx称是齐次线性方程组的一个解。ixiAo成立。1、解的性质212,若是（）的解向量，12,,AOAO1212()AAAOOO性质1齐次线性方程组的两个解的和212则也是（）的解向量。仍是方程组的解.即证()AkkAkOO，AO2若是（）的解向量，性质22也是（）的解向量。k则k为实常数,证齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解2注意：是（）的解向量满足AO(2)Axo2、基础解系回顾方程组（2）的求解过程及解的表示(),RArnA则的行最简形不妨设A的前r个列向量线性无关,111211210010000nrrrrnrbbbbbbA（2）的同解方程组11111221221122221122rrnrnrrnrnrrrrrrnrnxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx1122rrnnrxcxcxc1111122122112222112211221212100010001nrnrnrnrrrrrnrnrrnrrnrrnrxbcbcbcxbcbcbcxbcbcbcxcccxcccxccc111121221222121212100010001nrnrrrrrnrnrrrnxbbbxbbbxbbbcccxxx（2）的通解否则，可调换未知量先后顺序(2)Axo111121221222121212100010001nrnrrrrrnrnrrrnxbbbxbbbxbbbcccxxx（2）的通解1122nrnrxccc12nr12,nr,,线性无关（2）的任意一个解可由12,nr,,线性表示212,nr,,是组（）的全部解向量组的最大无关组！2组（）的全部解向量的组记为S（无穷多个向量的组）20SS的最大无关组称为组（）的基础解系2组（）的含n-r个解向量(r=R基础解系(A))2组（）的全部解向量组的(p97秩为n-rth7)212,nr,,是组（）的一个基础解系R（A）=n时，组（2）没有基础解系2组（）的解向量组的秩为0自由未知量的个数求出方程组(2)的通解,可求出其一个基础解系(rn)行变换A行最简形3、求解方法111121221222121212100010001nrnrrrrrnrnrrrnxbbbxbbbxbbbcccxxx12nr方程组(2)的通解是其一个基础解系的线性组合求出（2）的一个基础解系，写出其通解(rn)行变换A行最简形111,1,100100000000nrrrnrbbbb11111221221122221122rrnrnrrnrnrrrrrrnrnxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx,00121nrrxxx；100,,010rxxx21,12111rbbb,22212rbbb,,22212rbbb求基础解系令自由未知量取n-r维基本单位向量的分量，得n-r维基本单位向量组；得出相应的非自由未知量值，构成方程组的解向量。rxxx21,12111rbbb,22212rbbb)()(2)(1rnrrnrnbbb,00121nrrxxx,010；100,,111121,100rnbxbxx121222,010rnbxbxx,112,001nrrnrnrnbxbxx12,,,nr是方程组的基础解系通解为1122nrnrxccc为任意常数12,,nrccc0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx解121377352111A07/47/30007/5107/20143243174757372xxxxxx同解方程组为),(21Rcc得基础解系例1(P.99例12)求方程组的基础解系和通解12237754,771001令3142xcxc先求通解再写出基础解系121234237754771001xxccxx得通解为0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx121377352111A07/47/30007/5107/20143243174757372xxxxxx同解方程组为),(21Rcc得基础解系通解为TTTccxxxx)1,0,74,73()0,1,75,72(),,,(21432112237754,771001令3410,01xx先求基础解系再写出通解先求基础解系，再写出通解(i)写出系数矩阵并将其化为行最简形I；(ii)由I确定出n–r个自由未知量，并写出同解方程组;(iii)令这n–r个自由未知量分别为基本单位向量,,,1rnee可得相应的（n–r个解）基础解系;,,1rn(iv)写出通解.2211rnrnkkk当然，基础解系并不惟一！43243174757372xxxxxx比如本题同解组77347,7可令xx1251,9对应有1xx得基础解系通解为123412(,,,)(5,9,7,7)(1,1,7,7)TTTxxxxcc),(21Rcc125191,7777但解集合惟一基础解系不惟一只要自由未知量取为n-r维的线性无关向量组再解121377352111A～)1(211312rrrrr001268134111～21232rrrr052014310000为自由变量取21,xx2142132534xxxxxxTTTccxxxx)2,3,1,0()5,4,0,1(),,,(214321),(21Rcc12001,1xx令344352,xx对应有-12(1,0,4,5)(0,1,3,2)TT，得基础解系通解为自由未知量取法也不唯一只要确定A的秩，确定自由未知量，自由未知量确定n-r维的无关组，得基础解系，写出通解。即可行！倒行最简形,()()mnnlABORARBn设证明12,lABAO则1,2,(,),lB设,1,2,,iAoil的列向量都是方程组的解ABOBAxO例13(P.100)12设，TTTmaaAa的行向量都是方程组的解TABOAxBo12则TTTmaaABOBOa矩阵的性质（8）分析只证：()(),,()()RBnRAorRAnRB,1,2,,TjaBojm,()()mnnlABORARBn设证明1,2,,lxAO方程组都是的解向量，1,2,()(,)()lRBRnRA()().RARBn例13(P.100)证1,2,(,),lB设12,lABAO,1,2,,iAoil()而的解向量组的秩是，onRAxA1,2,,即方程组组的部分组都是的解向量，loxA此即A与B不满足AB=O，R(A)+R(B)≤n不一定成立！P109.24证明2,.AAARARAEn若=（即为幂等方阵）则（）（-）证∵R(A–E)=R(E–A),故只需证2(,AAAEAO=）R(A)+R(E–A)≤n,又E=A+(E–A),R[A+(E–A)].RARAEn（）（-）P100.例13≤R(A)+R(E–A),∴n=R(E)=R(A)+R(E–A)≤n,且R(A)+R(E–A)≥n矩阵性质6Ax=与Bx=同解，例14(P.100)()().元齐次方程组证明:与同解AxoBxoRARnB此处利用齐次线性方程组解集合的秩的结论证明证则S的秩解集合设为S,()()()RSnRAnRB()().RARB该结论说明Bx=与Ax=同解Bx=与Ax=等价（A的行组与B的行组等价）证明秩相同的一个方法Bx=与Ax=等价必有