中考数学压轴题详解—圆[1]

(第4题图)HEDBOAC圆作为初中数学中重要的知识点，在历年高考题中都出现在重要的得分点高的部分，尤其是压轴题中，有些同学往往认为压轴题一定是很难很难得到分数的部分，其实在题目中往往前一到两个小题都是考察大家的基础知识，只要正确列出公式就能得到相应的分数。要学好圆的部分，不仅要靠平时的练习，最重要的还是回归课本，把基础知识参透，只有基础牢固了，才能进一步对圆的认识进行延伸和扩展。1如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°.（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.2如图（4），正方形111OABC的边长为1，以O为圆心、1OA为半径作扇形1111OACAC，与1OB相交于点2B，设正方形111OABC与扇形11OAC之间的阴影部分的面积为1S；然后以2OB为对角线作正方形222OABC，又以O为圆心，、2OA为半径作扇形22OAC，22AC与1OB相交于点3B，设正方形222OABC与扇形22OAC之间的阴影部分面积为2S；按此规律继续作下去，设正方形nnnOABC与扇形nnOAC之间的阴影部分面积为nS．（1）求123SSS，，；（2）写出2008S；（3）试猜想nS（用含n的代数式表示，n为正整数）．3(10分)如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，ADx，DEy，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．4如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1．（1）求证：DEC△∽ADC△；（3分）（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予B1B2B3A1A2A3OC3C2C1图4S2S1S3DBAOCE·图10DBAOCE图11证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（4分）（3）延长AB到H，使BH＝OB．求证：CH是⊙O的切线．（3分）5如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为BC上的一动点．（1）问添加一个什么条件后，能使得BDBEBCBD？请说明理由；（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图11，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．66如图1，已知正方形ABCD的边长为23，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．7如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，M与x轴的正半轴交于AB，两点，A在B的左侧，且OAOB，的长是方程212270xx的两根，ON是M的切线，N为切点，N在第四象限．（1）求M的直径．（2）求直线ON的解析式．（3）在x轴上是否存在一点T，使OTN△是等腰三角形，若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出OTN△（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）若不存在，请说明理由．1解：（1）连结AD.·M·AFCOPEDOB图1·PDOGEMFBAC图2yxBMAON图1yxBMAON图2∵∠ABO=60°,∴∠ADO=60°…..1分由点A的坐标为（3，0）得OA=3.∵在Rt△ADO中有cot∠ADO=ODOA,…………….2分∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3×33=3.∴点D的坐标为（0，3）……………3分（2）DC与△AOB的外接圆相切于点D，理由如下:由（1）得OD=3,OA=3.∴2222(3)323ADODOA.又∵C点坐标是（-1，0）,∴OC=1.∴22221(3)2CDOCOD………………4分∵AC=OA+OC=3+1=4,∴CD2+AD2=22+(23)2=42=AC2…………………5分∴∠ADC=90°,即AD⊥DC.由∠AOD=90°得AD为圆的直径.∴DC与△AOB的外接圆相切于点D……………6分（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.）（3）由二次函数图象过点O（0，0）和A（3，0）,可设它的解析式为y=ax(x-3)（a≠0）.如图，作线段OA的中垂线交△AOB的外接圆于E、F两点，交AD于M点，交OA于N点.由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E或F.∵EF垂直平分OA，∴EF是圆的直径.又∵AD是圆的直径,∴EF与AD的交点M是圆的圆心………….7分由（1）、（2）得OA=3，AD=23.∴AN=12OA=32，AM=FM=EM=12AD=3.∴222233(3)()22MNAMAN.∴FN=FM-MN=3-32=32,EN=EM+MN=3+32=332.∴点E的坐标是(32,332)，点F的坐标是(32,-32)……..8分当点E为抛物线顶点时，有32(32-3)a=332,a=233.∴y=233x(x-3).即y=233x2+23x…………………………9分MEFN当点F为抛物线顶点时，有32(32-3)a=-32,a=239.∴y=239x(x-3).即y=239x2233x.故二次函数的解析式为y=233x2+23x或y=239x2233x….10分2（1）2211π1π1144S；·····················2分2222121ππ24228S；····················4分223221221ππ22422416S；················6分（2）2008200720091π22S；························8分（3）111π22nnnS（n为正整数）．···················10分3(1)证明：如图，∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI．………………2分∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD．……………………………3分∴∠BID=∠ABI+∠BAD=∠CBI+∠CBD=∠IBD．∴ID=BD．………………………5分(2)解：如图，∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D，∴△ABD∽△BED．…………………………7分∴BDADDEBD．∴22ADDEBDID．…………………8分∵ID=6，AD=x，DE=y，∴xy=36．………………9分又∵x=ADID=6，AD不大于圆的直径10，∴6x≤10．∴y与x的函数关系式是36yx．（610x≤）…………………………10分说明：只要求对xy=36与6x≤10，不写最后一步，不扣分．4（1）证明：∵C是劣弧BD的中点，∴DACCDB．····································1分而ACD公共，∴DEC△∽ADC△．··································3分（2）证明：连结OD，由⑴得DCECACDC，∵1.213CEACAEEC，∴2313DCACEC．∴3DC．····························································································4分由已知3BCDC，∵AB是⊙O的直径，∴90ACB，∴222223312ABACCB．∴23AB，∴3ODOBBCDC，∴四边形OBCD是菱形．∴DCABDCAB∥，，∴四边形ABCD是梯形．·········································5分法一：过C作CF垂直AB于F，连结OC，则3OBBCOC∴60OBC．························································································6分∴sin60CFBC，33sin60322CFBC，∴113932332224ABCDSCFABDC梯形＝＋＝＋＝．··································7分法二：（接上证得四边形ABCD是梯形）又DCAB∥∴ADBC，连结OC，则AOD△，DOC△和OBC△的边长均为3的等边三角形6分∴AOD△≌DOC△≌OBC△，∴239333344AODABCDSS△梯形＝＝＝·····················································7分（3）证明：连结OC交BD于G由（2）得四边形OBCD是菱形，∴OCBD且OGGC．·········································································8分又已知OB＝BH，∴BGCH∥．·························································9分∴90OCHOGB，∴CH是⊙O的切线．········································10分5解：（1）添加AB=BD·····································································································2分∵AB=BD∴AB=BD∴∠BDE=∠BCD········································································3分又∵∠DBE=∠DBC∴△BDE∽△BCD∴BDBEBCBD·······························································································································4分（2）若AB∥DO，点D所在的位置是BC的中点················································5分∵AB∥DO∴∠ADO=∠BAD······························································6分∵∠ADO=∠OAD∴∠OAD=∠BAD∴DB=DC········································7分（3）在（1）和（2）的条件下，．∵AB=BD=DC∴∠BDA=∠DAC∴BD∥OA又∵AB∥DO∴四边形AODB是平行四边形····································9分∵OA=OD∴平行四边形AODB是菱形··········································10分6解：（1）FB＝FE，PE＝PA···························································