一元二次方程根的分布问题、恒成立问题

1一、知识要点1、利用Δ与韦达定理研究)0a(0cbxax2的根的分布1）方程有两个正根2）方程两根一正一负3）方程有两个负根00040,02121221acxxabxxacbxx，则0021acxx，则00040,02121221acxxabxxacbxx，则2、借助函数图像研究)0a(0cbxax2的根的分布设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。【定理1】kabkafacbxxk20)(04221，则xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理2】kabkafacbkxx20)(04221，则xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf【定理3】21xkx0)(kaf20)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kf【定理4】有且仅有11xk（或2x）2k0)()(21kfkfxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf【定理5】221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa【定理6】2211kxxk，则2121220)(0)(004kabkkfkfaacb或2121220)(0)(004kabkkfkfaacbxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2二、典型例题例1若一元二次方程0)1(2)1(2mxmxm有两个正根，求m的取值范围。分析：利用Δ与韦达定理研究)0a(0cbxax2的根的分布300040,02121221acxxabxxacbxx，则例2k在何范围内取值，一元二次方程0332kkxkx有一个正根和一个负根？分析：利用0021acxx，则例3若一元二次方程03)12(2kxkkx有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：把x=0代入，得k=3,则可算出两根之和为5/30,所以另一根为正例4.方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围分析：利用21xkx0)(kaf例5.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围利用零点存在定理练习1.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围练习2若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k的取值范围不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB如（1）设实数,xy满足22(1)1xy，当0xyc时，c的取值范围是______（答：21,）；（2）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：1a）；（3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围_____（答：（712,312））；（4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____（答：3[2,)2）；（5）若不等式22210xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.4（答：12m）2).能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的minfxB.如已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____（答：1a）3).恰成立问题若不等式Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式Bxf的解集为D.