1.2.2-3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

资中县龙结中学数学组(第三课时)资中县龙结中学数学组一、基本初等函数的导数公式表为常数则则则则则则则则xxa若f(x)=c(c),f(x)=若f(x)=x(Q),f(x)=若f(x)=sinx,f(x)=若f(x)=cosx,f(x)=若f(x)=a,f(x)=若f(x)=e,f(x)=若f(x)=logx,f(x)=若f(x1.2.3.4.5.6.)=lnx,f7.8.(x)=0α-1αxcosx-sinxlnaxaex1xlna1x资中县龙结中学数学组二、导数的运算法则′f(x)±1g(x).=′f(x)·2g(x).=′f(x)=(gg(x)3.(x)≠0)别为数′cg(x)=特地(c常)f(x)±g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)gc(x)2f(x)g(x)-f(x)g(x)g(x)资中县龙结中学数学组设函数在点x处有导数,函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数,则复合函数在点x处也有导数,且或记)(xu)(xux)(ufyu;xuxuyy).()()]([xufxfx)]([xfy求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选中间变量.三、复合函数的导数资中县龙结中学数学组例1求下列函数的导数:2x(1)y=3x-4x+8(2)y=xcosx-sinx1lnx(3)y=xe-(4)y=+cosxxx解:(1)(2)(3)(4)y′=6x-4y′=-xsinx3212x3212xy′=ex+xex+3-21x221-lnx-sinxxy′=21-lnx-sinxx资中县龙结中学数学组例2求下列函数的导数：(1)y=4113x(2)y=sin2(2x+π3)(3)y=ln(2x2+x)(4)y=x21x解:(1)(2)(3)(4)512y=1-3x24x+1y=2x+xy=2sin(4x+2π3)3x-1y=2x-1资中县龙结中学数学组例3曲线y=e2xcos3x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为5,求直线l的方程.∵y=(e2xcos3x)′=(e2x)′cos3x+e2x(cos3x)′=2e2xcos3x+e2x(-3sin3x)=e2x(2cos3x-3sin3x)∴y′|x=0=2.∴切线方程为y-1=2(x-0)，即2x-y+1=0设直线l方程为2x-y+c=0两平行线间距离d=15c=5解得c=6或c=-4.故直线l方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0解:资中县龙结中学数学组例4曲线y=f(x)=ax-bx在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.(1)解:由7x-4y-12=0得y=74x-3.当x=2时,y=12,∴f(2)=12①又f′(x)=a+2bx,∴f′(2)=74②由①,②得12,227.44baba解之得13ab.故f(x)=x-3x.资中县龙结中学数学组(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+23x知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+203x)(x-x0),即y-(x0-03x)=(1+203x)(x-x0).③在③中令x=0得y=-06x,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-06x).令y=x得x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为12|-06x||2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.资中县龙结中学数学组《导与练》课堂作业