中考数学历年各地市真题 相似三角形

中考数学历年各地市真题相似三角形（2010哈尔滨）１．已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝2MD；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：。（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝72，求tan∠ACP的值．（2010珠海）２．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=63)33(2222AEAD∵△ADF∽△DEC∴CDAFDEAD∴4633AFAF=32（2010珠海）３。一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米.3.3（桂林2010）6．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（B）．A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1（2010年兰州）19.如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是米.答案6（2010宁波市）26．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数；（2）当点F的坐标为（－4，0），求点的坐标；（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG≌△DHE；②△若EHG的面积为33，请你直接写出点F的坐标ADEBC24.（2010年金华）(本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，3，2(长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A，B两点的直线解析式是▲；（2）当t﹦4时，点P的坐标为▲；当t﹦▲，点P与点E重合；（3）①作点P关于直线EF的对称点P′.在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？②当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）333xy；………4分（2）（0,3），29t；……4分（各2分）BFAPEOxyl(第24题图)（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）∵FGOE,FPEP,∠EOP∠FGP90°∴△EOP≌△FGP，∴PGOP﹒又∵tFGOE33,∠A60°,∴tFGAG3160tan0而tAP，∴tOP3,tAGAPPG32由tt323得59t；………………………………………………………………1分当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）∵tOE33,∴tBE3333,∴3360tan0tBEEF∴6921tEFEHMP，又∵)6(2tBP在Rt△BMP中，MPBP060cos即6921)6(2tt，解得745t．…………………………………………………1分②存在﹒理由如下：∵2t，∴332OE,2AP，1OP将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△ECB（如图3）∵OB⊥EF，∴点B在直线EF上，C点坐标为（332，332－1）BFAPEOxyGP′P′(图1)yBFAPEOxyMP′H（图2)BFAPEOxQ′B′QCC1D1(图3)过F作FQ∥CB，交EC于点Q,则△FEQ∽△ECB由3QECEFEEBFEBE，可得Q的坐标为（－32，33）………………………1分根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q（－32，3）也符合条件．……1分26．（2010年长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，82OAcm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线214yxbxc经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．解：(1)∵CQ＝t，OP=2t，CO=8∴OQ=8－t∴S△OPQ＝212(8)24222tttt（0＜t＜8）…………………3分(2)∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝11882828(822)22tt＝322…………5分∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于322…………6分（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°又∵BQ与AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQBAPxCQOy第26题图∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP………………7分∴828822ttt解得：t＝4经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（42，0）∵B（82，8）且抛物线214yxbxc经过B、P两点，∴抛物线是212284yxx，直线BP是：28yx…………………8分设M（m,28m）、N(m，212284mm)∵M在BP上运动∴4282m∵2112284yxx与228yx交于P、B两点且抛物线的顶点是P∴当4282m时，12yy………………………………9分∴12MNyy＝21(62)24m∴当62m时，MN有最大值是2∴设MN与BQ交于H点则(62,4)M、(62,7)H∴S△BHM＝13222＝32∴S△BHM：S五边形QOPMH＝32:(32232)＝3:29∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．…………………10分（2010年湖南郴州市）13.如图，已知平行四边形ABCD，E是AB延长线上一点，连结DE交BC于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDFBEF△≌△，这个条件是．（只要填一个）答案DCEB=或CFBF=或DFEF=或F为DE的中点或F为BC的中点或ABBE或B为AE的中点ABEFDC第13题(2010湖北省荆门市)23．(本题满分10分)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．答案23．解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴ACBCCPCD．∴AC·CD＝PC·BC；………………………………………………………………………3分(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝22BC＝22．又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝43．∴PE＝tanBECPB＝32()42BC＝322．从而PC＝PE＋EC＝722．由(1)得CD＝43PC＝1423…………………………………7分(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝12PC·CD．由(1)可知，CD＝43PC．∴S△PCD＝23PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝23×52＝503．………………………………10分（2010年眉山）25．如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E，CC的延长线交BB于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；第23题图EPOABDC第23题图CDBAOPFECBAB'C'FECBAB'C'（2）设∠ABC=，∠CAC=，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．答案：25．（1）证明：∵Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC，AB=AB，∠CAB=∠CAB………………（1分）∴∠CAC=∠BAB∴∠ACC=∠ABB……………………………………（3分）又∠AEC=∠FEB∴△ACE∽△FBE……………………………………（4分）（2）解：当2时，△ACE≌△FBE．…………………（5分）在△ACC中，∵AC=AC，∴180'180'9022CACACC………（6分）在Rt△ABC中，∠ACC+∠BCE=90°，即9090BCE，∴∠BCE=．∵∠ABC=，∴∠ABC=∠BCE……………………（8分）∴CE=BE由（1）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．………………………（9分）12．(10重庆潼南县)△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为______．3：41、（2010年杭州市）如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.(1)求证：△ABD∽△CAE；(2)如果AC=BD，AD=22BD，设BD=a，求BC的长.答案：(1)∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴DBA=CAE,又∵3AEBDACAB,∴△ABD∽△CAE.(2)∵AB=3AC=3BD，AD=22BD，∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，∴D=90°,由（1）得E=D=90°,∵AE=31BD,EC=31AD=232BD,AB=3BD，∴在Rt△BCE中，BC2=(AB+AE)2+EC2=(3BD+31BD)2+(322BD)2=9108BD2=12a2,∴BC=32a.（2010陕西省）13、如图在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是∠ACD=∠B∠ADC=∠AOBADACACAB（2010年天津市）（17）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，ADBE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则AGAF的值为