第二、三节 旋转体体积与功

第六章定积分的应用第三节定积分在物理学上的应用第二节定积分在几何学上的应用二、旋转体的体积这直线叫做旋转轴.旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，及球体都是旋转体.如图所示圆柱体、圆台体、圆锥、第二节定积分在几何学上的应用yoabx)(xfyxdxfVba2)(所以dxxfdV2)(积分变量为,x积分区间为,,ba相应的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积用圆柱体的体积近似代替，此圆柱体的体积即体积元素为：xdxx在上任取小区间,,dxxxba,0y,bx,ax),x(fy求由周而成的立体的体积.围成的曲边梯形绕x轴旋转一dcdyyV2)(xyo)(yxcdy)(yx由曲线和直线dy,cy与y轴所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为：同理，解rohxyP(h,r)建立坐标系如图旋转体为圆锥体，其体积为：3032322hrhxhrhdxxhrV02x例1xyhxhrxhry绕所围图形，），（求由直线00,.的体积轴旋转产生产生旋转体例2yxyxxxy轴、分别绕所围图形，，与直线求由曲线0212.的体积轴旋转产生产生旋转体解22xaaby上半个椭圆的方程为：xyo例3计算由椭圆12222byax（叫做椭球体）的体积.所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的旋转立体.椭球体可以看作是由上半个椭圆23222343abaaxxaabaadxyV2aadxxaab)(2222当a=b时，椭球体就成为球体,体积为334aV若绕y轴旋转baV234a2aa2a2xyyxyo例4计算由摆线tayttaxcos1sin图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.的一拱、直线y=0所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为解axdxyV2022022cos1cos1dttata20323)coscos3cos31(dtttta2022020203sinsin122cos13cos3tdtdtttdtdta022302332aa325a当图形绕y轴旋转时，a2aa2a2xyyxyoaydyxV2022222sinsintdtattaadyx2021022sinsintdtatta所成的旋转体的体积为2x1x注意)2sin2sin(21sin2sin262020202023tdttttdttta2032022023sinsin2sintdttdtttdtta022cos12)(cos202023dttttdta202020220232cos)(coscostdtttdtttdtta202020223)2(sin2121)(sin24ttdtttda336a2023sin)sin(tdtttasFW取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]，在此区间上任取小区间[x,x+dx],力为恒力所作的功，在此小区间上变力所作的功近似等于以x点的dxxFdWbadxxFW)(xx+dxOabXF(x)变力沿直线所作的功恒力作功：这个小区间功的近似值即为功元素，即功元素为：于是所求的功为求它把物体由a移动到b所作的功.设有一变力F(x)随位移x而变，第三节定积分在物理学上的应用任一点r处的电场力为：2rqkF则功元素为:drrkqdW2drrkqWba2荷从r=a沿r轴移动到r=b时，求电场力对它所作的功.把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，有一个单位正电荷放在距离原点O为r的地方，当这个单位正电例1由物理学知：221rQQkF在上任取小区间ba,,,drrrORabrr+dr1q解所以电场力所作的功为：bakqrkqba111注求计算静电场中某点的电位，就是计算将单位正电荷从该点处（r=a）移到无穷远处时电场力所作的功.akqxkqdxxkqVaa2即称为静电场中a处的电位.例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量气体.在等温移到点b处，计算在移动过程中，气体压力所作的功.条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞从点a处推解先利用题设把力表示为活塞位置x的函数，即先求力的函数表达式.abxoSx又因为,xSV所以有xSkP由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强p与体积V成反比，即VkP（其中k为比例系数）当活塞离O点x处时，气体作用在活塞上的力为：pSFxkSxSkabxoSx故所求的功为：则功元素为：dxxkdW在上任取小区间ba,,,dxxxbadxxkWabkxkbalnln例3一圆柱形的贮水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？把重量为G的物体提高高度为h需作的功是：GhW解HRoxx+dx（即功元素）为],[dxxxxdxxVdW)3(2于是所求的功为：0522.882.88250xxdxW）（水的比重3/8.9mkN相应于[0，5]上任一小区间的一薄层水)(34622252.88kJ建立如图所示的坐标系.取深度x为积分变量，变化区间为[0,5],被吸出需作的功的近似值课后作业：教材285页：12,15（1）教材292页：6