搜索
§10.1计数原理(1)光明剧院出售的戏票有前座700张，后座500张，如果选购1张戏票，有多少种选法？（2）从甲地道乙地可以乘火车，也可以乘汽车或轮船，一天当中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题1完成任务分析第（1）题第（2）题做什么事情选购一张戏票从甲地到乙地如何完成该事完成该事可分为几类每类中分别有几种方法完成那个该事共有多少种方法1、分类计数原理（加法原理）做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。例1：书架上有不同的数学书10本，不同的语文书11本，不同的英语书9本，现从其中任取1本，问：有多少种不同的取法？解：从书架上任取1本书，可能是数学书，语文书，英语书，有三类取法第一类：取出一本数学书，可以从10本书中任取一本，有m1=10种取法;第二类：取出一本语文书，可以从11本书中任取一本，有m2=11种取法;第三类：取出一本英语书，可以从9本书中任取一本，有m3=9种取法;根据分类计数原理，不同的取法有N=10+11+9=30(种)例2：在某批电器产品中，国产电器有97件，进口电器有23件，从中任取一件质检，共有多少种不同的取法？解：该批电器可分为国产电器和进口电器两类，从中任意抽取1件，则任务完成.第一类：从国产电器中抽取一件有m1=97种取法；第二类：从进口电器中抽取一件有m2=23种取法；依据分类计数法原理，不同的取法有：N=m1+m2=97+23=120（种）练习1：2.两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？1.某职业学校电子技术专业二年级有3个班，每班分别有5人，7人，9人会下象棋.现从中任意选1名学生去参加学校的象棋比赛，共有多少种不同的选法？60个40个问题2：A村B村C村北南中北南(1)光明剧院出售的戏票有前座700张，后座500张，如果前、后座各选购1张戏票，有多少种选法？（2）如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?完成任务分析第（1）题第（2）题做什么事情选购一张戏票从甲地到乙地如何完成该事完成该事可分为几步每步中分别有几种方法完成那个该事共有多少种方法2、分步计数原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。（乘法原理）例3：两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中各取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个40个解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球，有60种取法，即m1=60；对于这每一种取法，第二步从装红球的袋子里取一个红球，都有40种取法,即m2=40.依据分步计数原理，各取取一个白球和一个红球的方法共有60×40=2400（种）例4：某邮政局门前有三个邮筒，现将4封信逐一投入邮筒，共有多少种不同的投法？解：将四封信逐一投进邮筒可以分成四步来完成：第一步：将第一封信投进邮筒，有三种选择，即m1=3；第二步：将第二封信投进邮筒，有三种选择，即m2=3；第三步：将第三封信投进邮筒，有三种选择，即m3=3；第四步：将第四封信投进邮筒，有三种选择，即m4=3；根据分步计数原理，将这件事完成的方法共有N=m1*m2*m3*m4=3*3*3*3=81（种）例5：由数字1,2，3，4,5可以组成多少个没有重复数字的两位数？解：组成没有重复数字的两位数，可分为先确定十位上的数字，再确定个位上的数字的两个步骤.第一步,从数字1,2,3,4,5中任取一个数字，作为十位上的数字，有m1=5种选法;第二步,从剩余的4个数中任取一个数字，作为个位上的数字，有m2=4种选法;以上两步依次完成，才能组成1个两位数，依据分步计数原理，共可以组成N=5*4=20个没有重复数字的两位数.1.某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？配图更好一些，此题容易混淆练习2：2.一个抽屉中有5各小球，另一个抽屉中有6个小球，所有这些小球的颜色各不相同.(1)从两个抽屉中任取1个小球，有多少种不同的取法？(2)从两个抽屉中各取1个小球，有多少种不同的取法？3.由1,2,3,4,5,6可以组成多少个没有重复数字的两位数？那有重复数字的呢？思考：分类计数原理与分步计数原理的区别与联系？联系：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。区别：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．请看下面的例题：注意由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？思考交流例6：某城市电话号码由8位组成，其中从左边算起的第1位只用6或8，其余7位可以从前10个自然数0，1，2，…,9中任意选取，允许数字重复。试问：该城市最多可装电话多少门？12345678第1类6解：装一门电话需要指定一个电话号码，由题意电话号码可以分成两类：第1类电话号码第1位用6，确定其余7位号码可以分7步完成。10101010101010因此第一类电话号码共有10×10×10×10×10×10×10=10712345678第2类8同理，第2类电话号码也有10个，7因此，该城市所用的电话号码共有10+10=2×10个从而最多可装电话2×10门，即两千万门。77771．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本．从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？2．集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4}．从A,B中各取1个元素作为点P(x,y)的坐标．（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？讲讲练练9×7＋9×5＋7×5＝1433×4＋4×3＝242×2＋2×2＝8小结请同学们回答下面的问题:1.本节课学习了那些主要内容？答:分类计数原理和分步计数原理.2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？答:共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步计数原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点.作业P154-155第1-6题